Nr. 1 / September 2004
Wie wir alle wisen, rechnen wir im Dezimalsystem (Zehnersystem) - wahrscheinlich deswegen, weil wir 10 Finger haben. Wie würden unsere Zahlen aussehen, wenn wir nur 8 Finger hätten? Wie rechnet man in anderen Zahlensystemen? Machen wir uns zuerst einmal klar, was die Dezimalschreibweise bedeutet.
Angenommen, ein Mann will einen großen Haufen Bleistifte sortieren. Er schnürt immer 10 Stifte zu einem Bündel zusammen, dann packt er je 10 Bündel in eine Schachtel. (Wenn nötig, kann er je 10 Schachteln in ein Kiste packen usw.) Wenn er am Ende 1 Schachtel, 5 Bündel und 7 einzelne Stifte hat, dann weiß er, dass es insgesamt 1·100 + 5·10 + 7 = 157 Stifte sind.
Die einzelnen Stellen im Dezimalsystem können wir uns auch als solche Bündel, Schachteln und Kisten vorstellen. Sie entsprechen den Potenzen von 10:
157 = 1·102 + 5·101 + 7·100
Wenn der Mann stattdessen je 8 Bleistifte bzw. Bündel zusammenfasst, erhält er 2 Schachteln mit 82 = 64 Stiften, 3 Bündel mit 8 Stiften und 5 einzelne Stifte. Das ergibt eine Darstellung im Oktalsystem (Achtersystem), die wir durch eine tiefgestellte 8 bezeichnen wollen:
2358 = 2·82 + 3·81 + 5·80 = 157
Wie rechnet man eine Dezimalzahl ins Oktalsystem um? Am einfachsten ist es, wenn man sie wiederholt durch 8 dividiert, bis das Ergebnis 0 ist. Die Reste bei den Divisionen schreibt man dann von rechts nach links an. Beispiel:
157 : 8 = 19, Rest 5
19 : 8 = 2, Rest 3
2 : 8 = 0, Rest 2
Þ 157 = 2358
Um eine Oktalzahl wieder zu einer Dezimalzahl zu machen, schreibt man sie als Summe von Potenzen von 8 an (wie oben). Am einfachsten geht es mit dem Horner-Schema:
2
3
5
8
2
19
157
Man kann jede beliebige Zahl (außer 1) als Basis eines Zahlensystems nehmen. Für das Rechnen im Oktalsystem braucht man nur 8 verschiedene Zifern (0 bis 7), während im Dezimalsystem 10 Ziffern notwendig sind.
Ein Computer kennt nur zwei "Ziffern": 0 (Strom aus) und 1 (Strom an). Computer rechnen daher im Binärsystem (Zweiersystem, Dualsystem). Wir wollen 157 als Binärzahl schreiben:
157 : 2 = 78, Rest 1
78 : 2 = 39, Rest 0
39 : 2 = 19, Rest 1
19 : 2 = 9, Rest 1
9 : 2 = 4, Rest 1
4 : 2 = 2, Rest 0
2 : 2 = 1, Rest 0
1 : 2 = 0, Rest 1
Þ 157 = 100111012
Mit anderen Worten: 157 = 1·27 + 1·24 + 1·23 + 1·22 + 1·20.
Wie man sieht, werden die Zahlen hier sehr lang. Dafür ist das
Einmaleins leicht zu merken:
0·0 = 1·0 = 0·1 = 0, 1·1 = 1.
Die kleinste Informationseinheit (0 oder 1) heißt ein Bit. 8 Bit bezeichnet man als ein Byte. Es entspricht einer achtziffrigen Binärzahl und kann daher 28 = 256 verschiedene Werte annehmen (von 00000000 bis 11111111). Damit können also 256 verschiedene Zeichen (Ziffern, Groß- und Kleinbuchstaben, Sonderzeichen ...) dargestellt werden. (Wie das in der Praxis aussieht, seht ihr z.B. auf http://www.goodlink.de/edv/ascii.htm.)
Natürlich kann die Basis des Zahlensystems auch größer als 10 sein. Dann kommen wir aber mit den Ziffern 0 bis 9 nicht aus. Meist behilft man sich mit Buchstaben. Wenn wir uns z.B. für 16 als Basis entscheiden, erhalten wir das Hexadezimalsystem (Sechzehnersystem) mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14) und F(15). Stellen wir 157 als Hexadezimalzahl dar:
157 : 16 = 9, Rest 13 (= D)
9 : 16 = 0, Rest 9
Þ 157 = 9D16
Weil 16 = 24 ist, kann man Binärzahlen leicht in Hexadezimalzahlen umwandeln (und umgekehrt): jeder Viererblock entspricht einer Ziffer. (In unserem Beispiel: 10012 = 916, 11012 = 13 = D16.) Daher ist dieses System bei Programmierern sehr beliebt.
Ein Tipp: In Windows gibt es einen integrierten Taschenrechner (unter "Zubehör"). Im Menü "Ansicht" kann man auf "Wissenschaftlich" umschalten. Damit könnt ihr euch Zahlen wahlweise im Zehner- (Dez), Sechzehner- (Hex), Achter- (Okt) oder Zweiersystem (Bin) anzeigen lassen.
Genauere Informationen zu dem Thema gibt es auf den Seiten:
http://www.knito.de/besserwisser/zahlsys.php3
http://www.dagmar-mueller.de/wdz/Zahlen/Zahlensysteme/DualOktal/
dualoktal.html
Einige historische Bemerkungen:
Die Kelten benutzten wahrscheinlich ein Zwanzigersystem. Das erkennt man noch an einigen französischen Zahlbezeichnungen: 80 = quatre-vingt (vier-zwanzig), 90 = quatre-vingt dix (vier-zwanzig und zehn). Auch die Mayas rechneten im Zwanzigersystem.
Die babylonischen Mathematiker arbeiteten mit einem Sechzigersystem
(daher kommt unsere Einteilung der Stunden in 60 Minuten mit je 60
Sekunden). Sie hatten aber nicht 60 verschiedene Ziffern, sondern nur zwei:
ein Strich für 1 und ein Haken für 10. Dieses System ist sehr
praktisch zum Bruchrechnen, weil 60 viele Teiler hat. Das Einmaleins
wäre aber sehr schwer zu lernen gewesen. Daher benutzte man Tabellen
für die Multiplikation.
Mehr darüber findet ihr auf
http://www.fonline.de/rs-ebs/geschichte/ges4.htm
Und hier gibt es einen Keilschrift-Taschenrechner:
http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/calculator/scalc.html. Probiert es einfach aus!
Und zum Schluss noch ein Witz:
Warum verwechseln Mathematiker Halloween und Weihnachten?
Weil 31 Okt = 25 Dez.
Viel Spass bis zum nächsten Mal!
Jutta