Juttas Mathe-Newsletter

Nr. 12 / Jänner 2006

Kalender (1)

Vor kurzem haben wir ein neues Jahr begonnen. Die Moslems und die Chinesen feiern in den nächsten Tagen ihre Neujahrsfeste. Aus diesem Anlass möchte ich heute einige Kalender vorstellen und zeigen, welche Schwierigkeiten bei ihrer Berechnung auftreten. Wir werden sehen, dass dieses Thema ziemlich viel mit Mathematik zu tun hat.

Nächstes Mal werde ich noch auf einige andere Fragen zum Thema Kalender eingehen: Auf welchen Wochentag fällt ein bestimmtes Datum? Und wie berechnet man den Ostertermin?

Die natürlichen Zeitrhythmen

Der Tag

Der auffälligste Rhythmus ist der Wechsel von Tag und Nacht. Jeden Tag geht die Sonne im Osten auf, wandert über den Himmel und geht im Westen unter. Ein Sonnentag ist der Zeitraum zwischen zwei wahren Mittagen (d.h. den Zeitpunkten, zu denen die Sonne genau im Süden steht). Allerdings sind diese Zeiträume nicht genau gleich lang (siehe unten). Die Fehler summieren sich im Lauf des Jahres bis zu einer Viertelstunde auf. Man rechnet daher mit einem mittleren Sonnentag, den man in 24 Stunden einteilt.

Der Monat

Wenn man in der Nacht zum Himmel schaut, werden einem sehr bald die wechselnden Mondphasen auffallen. Sie kommen daher, dass der Mond die Erde umkreist. Auch sie eignen sich sehr gut zur Zeitmessung. Ein Monat ist die Zeit zwischen zwei Neumonden (das heißt, Erde, Mond und Sonne stehen in einer Linie). Auch dieser Zeitraum ist nicht immer gleich lang - in Durchschnitt beträgt er 29,5306 Tage.

Übrigens verstand man unter "Neumond" ursprünglich nicht den Zeitpunkt, zu dem der Mond gar nicht sichtbar ist, sondern (wie der Name sagt) die "neue", schmale Mondsichel direkt danach. Heute ist dafür auch die Bezeichnung "Neulicht" gebräuchlich.

Das Jahr

Der Wechsel der Jahreszeiten ist für unser Leben bestimmend. Er wird durch den Umlauf der Erde um die Sonne und die Neigung der Erdachse verursacht. So bekommt einmal die nördliche, einmal die südliche Halbkugel mehr Sonnenlicht ab. Allerdings ist das Wetter kein sehr verlässlicher Zeitanzeiger. Schon früh erkannten die Menschen, dass es besser ist, sich nach den Veränderungen am Sternhimmel und dem scheinbaren Lauf der Sonne durch die Sternbilder zu richten. Wichtige Eckdaten sind die Sonnwenden, der längste und der kürzeste Tag des Jahres, um den 21. Juni und 21. September, sowie die Tag- und Nachtgleichen um den 21. März und 23. September.

Die ägyptischen Priester beobachteten vor allem den Termin, zu dem der Stern Sirius zum ersten Mal, kurz vor Sonnenaufgang, am Morgenhimmel sichtbar war. Kurz danach begann nämlich die jährliche Nilüberschwemmung. Nach heutiger Zeitrechnung war das Anfang Juli. (Sirius wird auch "Hundsstern" genannt - daher kommt die Bezeichnung "Hundstage"). Die Ägypter stellten fest, dass ein Jahr ca. 365 Tage dauert. Sie wussten auch schon, dass sie damit einen kleinen Fehler begingen - der wurde aber damals noch nicht korrigiert. Inzwischen weiß man, dass ein Jahr, also ein Umlauf der Erde um die Sonne, 365,2422 Tage lang ist.

Wir haben also drei natürliche Rhythmen - Tag, Monat und Jahr -, deren Verhältnisse sich nicht in einfachen Zahlen ausdrücken lassen. Ein Jahr hat weder eine ganze Anzahl von Tagen noch von Monaten. Wenn ein Kalender über längere Zeit genau sein soll, muss man daher in bestimmten Abständen Schalttage bzw. Schaltmonate einfügen. Diese Berechnungen sind nicht so einfach, wie man auf den erten Blick glauben könnte.

Die Woche

Die Sieben-Tage-Woche ist zwar kein natürlicher Rhythmus, aber sie spielt auch eine wichtige Rolle in unserem Leben. Wahrscheinlich gab es schon bei den Sumerern und Babyloniern Wochen. Im Alten Testament ist der Sabbat der von Gott eingesetzte wöchentliche Ruhetag. Er wurde von den Juden immer eingehalten, auch in Zeiten, als andere Formen der Religionsausübung nicht möglich waren. Die Christen haben ihn durch den Sonntag ersetzt, den Tag der Auferstehung Jesu. Für die Moslems ist der Freitag der Versammlungstag der Gemeinde. Weil dieser siebentägige Rhythmus für viele Menschen eine so große Bedeutung hat, muss er bei allen Kalenderberechnungen mitberücksichtigt werden.

Exkurs: Warum sind die Tage nicht gleich lang?

Die Erde dreht sich, relativ zu den Sternen, in 23 h 56 min um ihre Achse. Eine Beobachterin auf der Erde sieht nach dieser Zeit, einem sogenannten Sterntag, alle Sterne wieder in derselben Richtung. Aber: Wenn für die Beobachterin zu einem bestimmten Zeitpunkt Mittag ist (das heißt, die Sonne steht genau im Süden), ist es eine Erdumdrehung später noch nicht ganz Mittag. Denn die Erde ist in dieser Zeit auf ihrem Weg um die Sonne ca. 1 weitergewandert, und um dieses Grad muss sie sich auch noch drehen. Daher ist ein Sonnentag um ca. 4 Minuten länger als ein Sterntag. (Genaue Erklärung und Bild)

Nach dem 2. Keplerschen Gesetz bewegt sich ein Planet umso schneller, je näher er der Sonne ist. Die Erde wandert daher im Winter (wenn sie der Sonne nahe ist) etwas schneller auf ihrer Bahn als im Sommer. (Deshalb ist das Sommerhalbjahr um eine Woche länger als das Winterhalbjahr.) Das bedeutet: die Dauer eines Sonnentages variiert im Lauf des Jahres. Diese Abweichungen summieren sich zur sogenannten Zeitgleichung, die bis zu 15 Minuten betragen kann.

Aus demselben Grund schwankt auch die Geschwindigkeit, mit der sich der Mond um die Erde bewegt. Dazu kommen noch Störungen durch die anderen Planeten. Die genaue Länge eines Monats ist daher nicht leicht zu berechnen.

Die wichtigsten Kalendertypen

Mondkalender: Der islamische Kalender

Unter Lunar- bzw. Mondkalender wird hier nicht die in esoterischen Kreisen beliebte Vorstellung verstanden, bestimmte Mondphasen seien günstig oder ungünstig für gewisse Tätigkeiten. Ich meine hier einfach einen Kalender, der sich nur am Mondlauf orientiert. Der bekannteste Vertreter dieses Typs, der auch heute noch in Verwendung ist, ist der islamische Kalender.

Ein islamisches Jahr ist ganz einfach aufgebaut: es besteht aus 12 Monaten, wobei jeder Monat beginnt, sobald die neue Mondsichel sichtbar ist. Das genaue Datum kann daher immer erst nachträglich festgestellt werden. Weil man auf diese Weise schlecht vorausplanen kann, gibt es auch vorausberechnete Kalender. Ein Monat wird dabei abwechselnd mit 30 bzw. 29 Tagen festgesetzt. Um die kleinen Ungenauigkeiten auszugleichen, werden innerhalb von 30 Jahren 11 Schalttage eingefügt. Traditionsbewußte Moslems richten sich aber bei der Datierung von Festen noch immer danach, dass jemand die Mondsichel tatsächlich gesehen hat.

12 Mondmonate haben 354 Tage - ein Mondjahr ist also um 11 Tage kürzer als ein Sonnenjahr. Aus diesem Grund wandern die islamischen Feste im Lauf der Zeit durch alle Jahreszeiten. 33 islamische Jahre entsprechen 32 julianischen bzw. gregorianischen Jahren. Die islamische Zeitrechnung beginnt mit der Hidschra, der Flucht Mohammeds von Mekka nach Medina, im Jahr 622 n.Chr. Am 31. Jänner 2006 (genauer gesagt am Abend des 30. Jänner) beginnt das islamische Jahr 1427, während nach westlicher Zeitrechnung erst 1384 Jahre vergangen sind.

Lunisolarkalender: Der jüdische Kalender

Ein reiner Mondkalender hat, wie erwähnt, den Nachteil, dass er nicht mit den Jahreszeiten synchron läuft. Viele Feste sind aber mit bestimmten Jahreszeiten verknüpft: Ostern bzw. Pessach geht auf ein altes Frühlingsfest zurück, Sukkot ist das Erntedankfest und Weihnachten hängt mit der Wintersonnwende zusammen (um nur einige Beispiele aus dem christlichen und jüdischen Bereich zu nennen). Außerdem sind die Steuertermine im Kalender festgelegt, und in einer bäuerlichen Gesellschaft ist es nicht sinnvoll, wenn die Steuern vor der Ernte fällig werden.

Daher hat man schon früh versucht, Sonnen- und Mondkalender miteinander zu verbinden. Der griechische Astronom Meton von Athen (5. Jh. v. Chr.) stellte fest, dass 19 Jahre fast genau 235 Monaten entsprechen (der Fehler beträgt nur etwas 2 Stunden). 19 Mondjahre haben aber nur 228 Monate. Um das auszugleichen, müssen innerhalb von 19 Jahren 7 Schaltmonate eingefügt werden.

Auf diesem sogenannten Metonischen Zyklus beruht der jüdische Kalender. (Er wird auch zur Berechnung des christlichen Ostertermins benutzt - darüber nächstes Mal mehr.) Ursprünglich richtete sich der Monatsanfang, wie im islamischen Kalender, nach der tatsächlichen Sichtung der Mondsichel. Er wurde von einem Kalenderrat in Jerusalem auf Grund der Aussagen glaubwürdiger Zeugen festgelegt und durch Signalfeuer verbreitet. Im 4. Jh. n.Chr. veröffentlichte Patriarch Hillel II. die Regeln zur Kalenderberechnung. Sie enthalten Angaben, wann ein 30-tägiger Schaltmonat einzufügen ist, und einige Ausnahmebestimmungen, die vermeiden sollen, dass bestimmte Feste auf bestimmte Wochentage fallen. Es gibt daher mangelhafte, reguläre sowie überzählige Normaljahre (353, 354 bzw. 355 Tage) und ebensolche Schaltjahre (383, 384 bzw. 385 Tage).

Die jüdische Zeitrechnung beginnt mit dem 6. Oktober 3761 v.Chr., der als das Datum der Erschaffung der Welt gilt. Derzeit befinden wir uns also im jüdischen Jahr 5766.

Sonnenkalender: Der Julianische und Gregorianische Kalender

Auch im alten Rom gab es einen Lunisolarkalender. Die Schaltmonate waren dabei nicht im vorhinein bestimmt, sondern wurden von den Priestern nach Bedarf festgelegt. Im Lauf der Zeit war der Kalender total durcheinander gekommen. So beschloss Julius Caesar, ihn zu reformieren. Auf Anraten des griechischen Astronomen Sosigenes führte er folgenden Kalender ein:

Die Julianische Kalenderreform wurde 46 v. Chr. beschlossen. Dieses Jahr wurde um zwei Monate verlängert, um die bis dahin aufgelaufenen Fehler auszugleichen. Im darauffolgenden Jahr traten die Änderungen in Kraft. Manchmal liest man auch, Cäsar hätte den Jahresanfang von März auf Jänner verlegt. Das ist nicht ganz korrekt. Es stimmt zwar, dass das römische Jahr ursprünglich im März begann - daran erinnern noch die Monatsnamen September bis Dezember (septem = sieben, octo = acht, novem = neun, decem = zehn). Aber schon seit 153 v. Chr. fand der Amtsantritt der Konsuln - und damit der Beginn des "amtlichen" Jahres" - am 1. Jänner statt (siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/153_v._Chr.). Cäsar hat diese Regelung wohl nur festgeschrieben.

Der Julianische Kalender ist sehr leicht zu berechnen. Er setzte sich im ganzen Römischen Reich durch und wurde später auch von der Kirche übernommen. Die Jahreszählung "vor bzw. nach Christi Geburt" geht übrigens auf den Mönch Dionysius Exiguus (6. Jh.) zurück. Er fand es unpassend, dass die Jahre, wie damals üblich, nach der Regierungszeit Diokletians gezählt wurden - schließlich war dieser Kaiser der ärgste Verfolger der Christen gewesen. So bestimmte er das Geburtsjahr Jesu, wobei er sich allerdings ein bisschen verrechnete. Heute sagt man auch manchmal "im Jahr X vor bzw. nach unserer Zeitrechnung". Ich möchte allerdings die gewohnte Bezeichnung beibehalten. Zufällig waren in der neuen Jahreszählung die Schaltjahre genau die durch 4 teilbaren Jahre.

Der Julianische Kalender hatte nur einen Fehler: ein Jahr war ein bisschen zu lang (365,25 statt 365,2422 Tage). Im Lauf von 128 Jahren wurde also ein Tag zu viel gezählt. Bis zum 16. Jahrhundert war dieser Fehler so angewachsen, dass die Frühlings-Tag- und Nachtgleiche und der 21. März deutlich auseinanderlagen. Dieses Datum ist aber wichtig für die Berechnung des Ostertermins. Papst Gregor XIII beschloss daher 1582 eine erneute Kalenderreform. Ihre wichtigsten Punkte waren:

Auch dieser Kalender ist nicht perfekt, aber der Fehler beträgt nur mehr einen Tag in 3000 Jahren.

Der Gregorianische Kalender wurde in den katholischen Ländern sofort übernommen, in den protestantischen und orthodoxen Ländern aber erst im Lauf der nächsten drei Jahrhunderte (z.B. Deutschland: 1700, Russland: 1918, Griechenland: 1923). So gab es lange Zeit innerhalb Europas ein großes Durcheinander - man musste auf Dokumenten immer zwei Daten angeben. Die orthodoxen Christen bestimmen den Termin des Osterfests immer noch nach dem Julianischen Kalender.

Ich möchte noch anmerken, dass im Iran seit 1925 ein noch genauerer Kalender in Gebrauch ist. Dort werden in 128 Jahren 31 Schalttage eingefügt. Alle 2820 Jahre kommt noch ein zusätzlicher Schalttag dazu. Die Schaltregeln sind ziemlich kompliziert, dafür beträgt der Fehler bei dieser Berechnung nur mehr einen Tag in 2 Millionen Jahren!

Verbesserungsvorschläge

Auch der Gregorianische Kalender weist noch einige Nachteile auf. Ein Problem ist, dass ein Jahr keine ganze Anzahl von Wochen enthält. Daher fällt ein bestimmter Tag jedes Jahr auf einen anderen Wochentag. Die beweglichen Feste (Ostern, Pfingsten) machen die Jahresplanung noch komplizierter. Außerdem sind die einzelnen Halbjahre und Quartale verschieden lang.

Es hat schon unzählige Vorschläge gegeben, einen "logischeren" Kalender einzuführen. Der radikalste Ansatz war wohl der französische Revolutionskalender: Jeder Monat hatte 30 Tage, die in 3 "Wochen" zu je 10 Tagen eingeteilt wurden. Am Jahresende wurden 5 (in Schaltjahren 6) Ergänzungstage angefügt. Die Zeitrechnung begann mit der Gründung der französischen Republik (1792 n. Chr.). Dieser Kalender konnte sich aber nicht durchsetzen und wurde von Napoleon wieder abgeschafft.

In den Zwanzigerjahren des 20. Jahrhunderts wurde dem Völkerbund ein Reformvorschlag der World Calendar Association vorgelegt, der heute noch bei der UNO zur Bearbeitung liegt. Er sieht folgende Änderungen vor:

Dieser Kalender wäre sehr einfach und hätte offensichtlich viele Vorteile, aber es ist fraglich, ob er oder ein anderer Änderungsvorschlag sich durchsetzen wird. Meiner Meinung nach wird die Macht der Gewohnheit auch weiterhin zu stark sein.

Links

Verschiedene Kalender: http://www.ortelius.de/kalender/index.php
Links zum Thema Kalender: http://www.computus.de/kalenderlinks/kalenderlinks.htm (sehr umfangreich!)
Claus Tønderings Kalender-FAQ: http://www.tondering.dk/claus/cal/calendar28.html (englisch)
Zum "Weltkalender": http://www.schlag.name/index.html

Bis zum nächsten Mal!

Jutta


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