Juttas Mathe-Newsletter

Nr. 8 / Mai 2005

Zahlenspielereien

Hier sind ein paar nette Spielereien, mit denen ihr eure Freunde verblüffen könnt. Die Erklärungen findet ihr am Ende des Newsletters.

  1. Denk dir eine dreistellige Zahl und multipliziere sie nacheinander mit 7, 11 und 13. Das Ergebnis wird dich überraschen!

  2. Wähle eine Zahl von 1 bis 9. Multipliziere sie mit 9 und das Ergebnis mit 12345679 (kein Tippfehler, die 8 wird ausgelassen). Auch hier erhält man ein überraschendes Produkt.

  3. Jemand soll eine dreistellige Zahl notieren, dann die Ziffern in umgekehrter Reihenfolge aufschreiben und die kleinere Zahl von der größeren abziehen (z.B. 563 - 365 = 198). Wenn er dir die Einerstelle des Ergebnisses nennt, kannst du ihm das ganze Ergebnis sagen.

Kaprekar-Zahlen

Wir wollen jetzt die letzte Spielregel etwas abändern. Wir gehen von einer vierstelligen Zahl aus, bei der nicht alle Ziffern gleich sind. Nun ordnen wir die Ziffern zuerst von der größten zur kleinsten und dann umgekehrt und ziehen die kleinere Zahl von der größeren ab. Diesen Vorgang wiederholen wir einige Male.

Beispiel: Ausgangszahl 1958

9851 - 1589 = 8262
8622 - 2268 = 6354
6543 - 3456 = 3087
8730 - 0378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
...
Von jetzt an wiederholt sich die Zahl 6174 immer wieder.

Der indische Mathematiker D.R. Kaprekar entdeckte 1955, dass man bei diesem Prozess - egal mit welcher Zahl man anfängt - immer nach einigen Schritten die Zahl 6174 erreicht. Diese Zahl bezeichnet man daher als Kaprekar-Konstante.

Für dreistellige Zahlen lautet die Kaprekar-Konstante 495. Bei fünfstelligen Zahlen gibt es keine Konstante, aber man landet immer in einem von drei Zyklen, z.B. 61974 -> 82962 -> 75933 -> 63954 -> 61974. Für sechsstellige Zahlen gibt es zwei Konstanten (549945 und 631764) und einen Zyklus.

Ähnliche Ergebnisse erhält man, wenn man in anderen Zahlensystemen rechnet. Probiert es einfach aus!

Palindromzahlen

Ein Palindrom ist ein Wort, das von vorne und von hinten gelesen gleich lautet, z.B. ELLE, REITTIER oder RELIEFPFEILER. Analog dazu versteht man unter einer Palindromzahl eine Zahl, die von vorne und von hinten dieselbe Ziffernfolge hat, z.B. 121, 2442, ...

Wenn wir wieder von einer beliebigen Zahl ausgehen, die Ziffern in umgekehrter Reihenfolge anschreiben und beide Zahlen addieren, erhalten wir meistens nach einigen Schritten eine Palindromzahl.

Beispiel:
69 + 96 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884

Bei manchen Ausgangszahlen erreicht man sehr schnell eine Palindromzahl (z.B. 12 + 21 = 33), bei manchen dauert es etwas länger, und machmal kommt man nie soweit. Die kleinste Zahl, aus der man keine Palindromzahl erhält, ist 196. Zumindest haben einige Mathematiker schon so lange addiert, dass sie bei Zahlen mit 70 Millionen Stellen angekommen sind, und haben noch kein Palindrom gefunden. Eine Erklärung für dieses Phänomen ist nicht bekannt.

Glückliche Zahlen

Als nächstes quadrieren wir die Ziffern einer beliebigen Zahl, addieren die Quadrate und wiederholen den Vorgang. Wenn wir irgendwann das Ergebnis 1 erhalten, bezeichnen wir die Ausgangszahl als "happy number".

Beispiel:
7 = 49
4 + 9 = 97
9 + 7 = 130
1 + 3 + 0 = 10
1 + 0 = 1

7 ist also eine glückliche Zahl.

Als nächstes versuchen wir es mit 5:
5 -> 25 -> 29 -> 85 -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89 ->
Wir sind in einem Zyklus gelandet, der sich von nun an ständig wiederholt. 5 ist also eine unglückliche Zahl. Man kann zeigen, dass man von jeder unglücklichen Zahl aus denselben Zyklus erreicht.

Die glücklichen Zahlen bis 100 lauten: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 und 100.

Über solche und andere interessante Zahlen findet ihr viele Informationen auf der (englischen) Seite http://www.wschnei.de/digit-related-numbers/.

Das Collatz-Problem (3n+1-Problem)

Auch diesmal starten wir mit einer beliebigen Zahl n und bilden daraus eine Folge nach folgender Regel:
Ist n gerade, lautet die nächste Zahl n/2.
Ist n ungerade, lautet die nächste Zahl 3n + 1.

Beispiel:
7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
Ab jetzt wiederholt sich der Zyklus 1 -> 4 -> 2 -> 1. Wir können also aufhören, wenn wir bei 1 angelangt sind.

Der Mathematiker L. Collatz bemerkte 1937, dass man bei diesem Vorgang anscheinend immer 1 erreicht. Diese Vermutung konnte aber bis heute nicht bewiesen werden. Man hat allerdings schon alle Zahlen bis 1016 untersucht und noch kein Gegenbeispiel gefunden. Es könnte sein, dass die Frage unentscheidbar ist (d.h. die Vermutung kann weder bewiesen noch widerlegt werden).

Erklärungen zu den Spielereien

  1. 7 * 11 * 13 = 1001

  2. 12345679 * 9 = 111111111
    Das genügt eigentlich schon als Erklärung, aber es ist noch interessant, dass man die Ziffernfolge 012345679 auch als Periode erhält, wenn man 1/81 als Dezimalzahl schreibt. Und 1/81 * 9 = 1/9 = 0,111111111...

  3. Die mittlere Ziffer des Ergebnisses ist immer 9, und die erste und die letzte Ziffer ergeben zusammen auch 9. Lautet also z.B. die Einerziffer 8, so muss das Ergebnis 198 sein.

Viel Spaß bis zum nächsten Mal!

Jutta


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E-mail: gut.jutta.gerhard@chello.at

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