LINEARE ALGEBRA
Determinante
einer (2,2)-Matrix
Determinante
einer (3,3)-Matrix: Regel von Sarrus
Determinante
einer (n,n)-Matrix
Eigenschaften
und Regeln der Determinanten
Gauß –
Jordanscher Algorithmus
MATRIZEN
Definition:
Eine Matrix ist eine aus m Zeilen und n Spalten bestehendes,
rechteckiges (Zahlen) Schema der Form 
.
Sie wird daher als (m,n)-Matrix bezeichnet.
Eine Matrix, bei der m=n ist, wird als quadratische Matrix bezeichnet
Eine Diagonalmatrix ist, wenn a11, a22, a33,…, amn gleich 1 sind, und die Nichtdiagonalen gleich 0 sind.
Eine Nullmatrix ist, wenn alle aij= 0 sind
Beispiele:
ist eine (3,2) Matrix
ist eine (1,3) Matrix
und kann auch als B= (1, ‑1, 2) angeschrieben werden.
ist eine (2,2) Matrix
oder auch quadratische Matrix.
ist eine (3,2)
Nullmatrix.
ist eine (3,3)
Matrix, und in diesem speziellen Fall spricht man von einer symmetrischen
Matrix. Wenn man die Matrix spiegelt, kommt man auf das gleiche zurück. Also ist AT=A, da eine (m,n)
Matrix gespiegelt eine (n,m) Matrix ergibt und als AT bezeichnet
wird.
Rechenregeln:
A + B = B +
A
A + 0 = 0 +
A = A
A * (A + C)
= A * B + A * C
A * (B * C)
= (A * B) * C = A * B * C
(A *B)T
= BT * AT
(A * B)-1
= B-1 * A-1
Rang
einer Matrix
Der Rang der
Matrix A (eine (m,n)- Matrix) ist die Dimension des von den Zeilenvektoren
(Spaltenvektoren) aufgespannten Unterraums. Bezeichnung: rg A
A und AT
haben den gleichen Rang, daher ist rg A = rg AT
da zwar C nicht Zeilenstufenförmig ist, aber die ersten beiden Zeilen
linear unabhängig sind, und die dritte Zeile von ihnen linear abhängig ist.
Man sieht, dass wenn die Matrix nicht Zeilenstufenform (Spaltenstufenform)
hat, es nicht leicht ist, den Rang abzulesen. Man kann die Matrix auf
Zeilenstufenform bringen, ohne den Rang zu ändern, um dann den Rang abzulesen.
Rechnen
mit Matrizen:
Produkt
von Matrizen:
3*1+2*0+(-1)*(-2)=5
Multiplizieren
von Faktoren
C=2*A-3*B+A+2*B
Determinanten
Determinante
einer (2,2)-Matrix
Determinante
einer (3,3)-Matrix:
Regel von Sarrus
Merkregel:
Man schreibt die ersten zwei Zeilen unter die drei Dreierprodukte von links oben nach rechts unten und subtrahiert die drei Dreierprodukte von rechts oben nach links unten!
Determinante
einer (n,n)-Matrix
Dieses Vorgehen nennt man Entwicklung von det A
nach der ersten Zeile. Es entsteht die Matrix A1j aus der Matrix A
durch streichen von der ersten Zeile und der j-ten Spalte.
da durch eine Addition der zweiten Zeile zur dritten Zeile der Wert der Determinante nicht verändert wird!
entweder mit der „Regel von Sarrus“ berechnen,
oder wie folgt berechnen:
Durch Addition eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) erzeugt man in einer Spalte (Zeile) möglichst viele Nullen und entwickelt nach dieser Spalte (Zeile).
Eigenschaften
und Regeln der Determinanten
- Vertauscht
man zwei Zeilen (Spalten), so ändert sich das Vorzeichen der Determinante
- Multipliziert
man eine Zeile (Spalte) mit der Zahl a, so multipliziert sich die
Determinante mit a.
- Addition
eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte)
ändert den Wert der Determinante nicht.
- Der Wert
der Determinante ist 0,m wenn eine Spalte der Nullvektor ist, das heißt
linear unabhängig ist.
- Addiert
man bei zwei derartigen Zahlenschemas, die sich nur in einer an gleicher
Stelle befindlichen Spalte unterscheiden, und lässt die anderen Spalten
unverändert, so addieren sich die Determinanten-Werte.
Cramer’sche
Regel
Ist A eine
quadratische (n,n)- Matrix mit 
, so ist lineare Gleichungssystem 
eindeutig lösbar. Für
die Lösung 
gilt 
, wobei 
die (n,n)- Matrix
ist, die aus A entsteht, indem man die i-te Spalte von A durch 
ersetzt.
also 
Gauß –
Jordanscher Algorithmus
-ist eine
Möglichkeit, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen.
Man geht hierfür
in zwei Schritten vor
1. Schritt:
Die erste Gleichung wird mit 
multipliziert und zur
i-ten Zeile addiert, wobei i = (2, 3, 4, ......., m)
Dadurch wird die erste Spalte bis auf a11x11
„ausgeräumt“.
2. Schritt
Nun soll die 2. Spalte bis auf 
ausgeräumt werden. Es
wird die 2. Gleichung mit 
multipliziert und
addiert sie zur i-ten Zeile, wobei i = (1, 3, 4, ......., m) ist
Dadurch wird die zweite Spalte bis auf 
ausgeräumt
Mit diesen Schritten fährt man fort, bis alle aij für i, j > k Null sind
Beispiel:
Nach dem ersten Schritt:
Nach dem zweiten Schritt:
Nach dem dritten Schritt:
Hierfür gibt es keine eindeutige Lösung