Aufgaben zur Relativitätstheorie

 

1)  Ein Raumschiff ist zum nächsten Fixstern Alpha Zentauri (4,5 Lichtjahre entfernt) unterwegs.

       a) Wie lange bräuchte das Raumschiff zum Stern, wenn es mit halber Lichtgeschwindigkeit unterwegs ist?

       b) Wie lange würde der Flug für die Astronauten an Bord des Raumschiffes dauern?

       c) Auf welche Strecke würde sich die Entfernung zum Stern verkürzen – aus Sicht des Raumschiffs?

       d) Wie schnell müsste das Raumschiff unterwegs sein, damit es nur ein Jahr für diese Reise braucht (aus Sicht des Raumschiffs)?

Lösung1

 

2)   In einem Teilchenbeschleuniger wird ein Elektron auf  v = 0,8 c beschleunigt. Anschließend fliegt es mit konstanter Geschwindigkeit eine Strecke von 100 m.

       a) Wie lange braucht es dafür (aus der Sicht des Experimentators)?

       b) Wie lang ist diese Strecke im Ruhesystem des Elektrons?

       c) Welche Zeit vergeht im Ruhesystem des Elektrons bis die Strecke bewältigt ist?

       d) Welche Masse hat das Elektron dann, wenn es im Ruhezustand eine Masse von 910–31 kg hat

Lösung2

 

3)   Myonen werden in einer Höhe von 20 km durch die Höhenstrahlung erzeugt.

       Mit der Geschwindigkeit v = 0,9998 c fliegen sie zur Erde. Die Lebenszeit liegt bei 2 ms.

       a) Wie lange brauchen Sie für diese Strecke im Erdsystem?

       b) Wie lange brauchen sie in ihrem Ruhesystem?

       c) Welche Strecke durchfliegen Sie in ihrem Ruhesystem?

       d) Welche Masse habt das Myon in seinem Ruhesystem

                     (Ruhemasse des Myons 1,88 10−28 kg) ?

       e) Welche Masse hat das fliegende Myon im Erdsystem?

Lösung3

 

4)   Licht besitzt auf Grund seiner Energie auch Masse. Ein auf der Erde nach oben gerichteter Lichtstrahl verliert auf Grund der Gravitationswechselwirkung genauso viel kinetische Energie wie er potentielle Energie gewinnt (siehe Steinwurf nach oben). Aus dieser Energieabfuhr ergibt sich eine Frequenzänderung. Wie groß ist diese bei einer Höhe von 100 m für Licht der Wellenlänge 500 nm?

Lösung4

5)   Wie groß ist die Massenzunahme eines Autos von 1000 kg, wenn es statt zu stehen mit einer Geschwindigkeit von 180 km/h fährt?

Lösung5

 

 

 

 

 

      


 

Lösungen:

 

1)   a) 9 Jahre                 b) 7,8 Jahre     

       c) 3,9 Lichtjahre      d) 99,38% der Lichtgeschwindigkeit

 

Ausführliche Lösung1         RETOUR zu Aufgabe1

 

2)   a) 0,42ms        b) 60 m   c) 0,25 ms   d) 1,510–30 kg

 

Ausführliche Lösung2         RETOUR zu Aufgabe2

 

3)   a) 66,6 ms          b) 1,33 ms          c) 400 m    

       d) keine Änderung                      e) 9,410–27 kg

 

Ausführliche Lösung3         RETOUR zu Aufgabe3

 

4)   relative Frequenzänderung: Df/f = 1,110–14 

       absolute Frequenzänderung: Df= 6,6 Hertz

 

Ausführliche Lösung4         RETOUR zu Aufgabe4

 

5)   1,3910–11 kg

 

Ausführliche Lösung5         RETOUR zu Aufgabe5

 


Ausführliche Lösung:

 

1)   a) Die Entfernung zum Stern beträgt 4,5 Lichtjahre, d.h. mit Lichtgeschwindigkeit ist man 4,5 Jahre dorthin unterwegs, also braucht man mit halber Lichtgeschwindigkeit doppelt so lang (indirektes Verhältnis): 9 Jahre

       b) Die Astronauten an Bord des Raumschiffes erleben eine Verkürzung der Zeit um den

       Faktor = 0,866.

       Daher ist die Zeit auf 9*0,866 = 7,8 Jahre verkürzt.

       c) Die Verkürzung der Strecke erfolgt mit dem gleichen Faktor wie b): statt 4,5 Lichtjahre werden es nur mehr 4,5*0,866 = 3,9 Lichtjahre

       d) Damit das Raumschiff nur ein Jahr dafür benötigt, müsste gelten:

       t’ = 1 und die Gleichung t’ = t*nach v aufgelöst werden:

       1 = 9 *    |:9

       0,1111 =        | ()²

       0,0123456 =     |–1

       –0,9876 54=       |*-1 |Ö

 

       0,9938 = v/c             |*c

 

       v = 0,9938 c = 99,38% der Lichtgeschwindigkeit

 

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2)   a) v = 0,8 c = 0,8*300 000 km/s = 240 000 km/s = 2,4108 m/s

       Der Weg ist das Produkt aus Geschwindigkeit mal Zeit: s = v*t

       è  die Zeit daher:   t = s/v = 100 / (2,4108) = 4,1710–7 s = 0,42 ms

       b) Die Strecke wird mit dem Faktor = 0,6 verkürzt. Daher wird daraus die Strecke: s’ = s*0,6 = 100*0,6 = 60 m

       c) Die Zeit wird um den gleichen Faktor verkürzt wie die Strecke:

       t’ = t*0,6 = 0,42ms * 0,6 = 0,25 ms

       d) Die Masse wird um den Kehrwert des Faktors vergrößert:

       m’ = m / 0,6 = 910–31/ 0,6 = 1,510–30 kg

 

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3)   a) Zeit = Weg/Geschwindigkeit = 20 000 / (0,9998*3108) = 66,6 ms

       b)  Der Wurzelfaktor ist

       = 0,0199 » 0,02

       Die Zeit von 66,6 ms wird auf t’ = t*Wurzelfaktor = 66,6*0,02 = 1,33 ms        heruntergedehnt.

       Das geht sich mit der mittleren Lebensdauer von 2ms aus!

       c) Die Strecke von 20 km wird auf

              s’ = s* Wurzelfaktor = 20 000 m * 0,02 = 400 m     gekürzt

       d) In seinem Ruhesystem ruht das Teilchen, daher

              keine Massenänderung!

       e) Diese Masse ergibt sich aus

              m’ = m/Wurzelfaktor = 1,8810–28/0,02 = 9,410–27 kg

 

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4)   Der Energieansatz geht folgendermaßen:

       E = Epot + ELicht (vorher) = E’pot + E’Licht (nachher)

       E =   0   + h*f                 = mgh + h*f’       

                           und da es gilt: E=mc²  und E=h*f   è  m = E/c²  = h*f /c²

       Bringt man den Term h*f’ nach links, kann man dann h herausheben:

       h*f – h*f’  =  mgh = h*f/c²*gh  

       è   f–f’ = f /c² *gh  

       è  (f–f’)/f = Df/f = g*h/c²

       Daher  ist die relative Frequenzänderung

       Df /f = 10*100 / (91016) = 1,110–14 .

       Das ergibt bei Licht der Wellenlänge 500 nm die Frequenz: c=l*f

       è  f = c/l = 3108/(50010–9) = 61014 und

       Df = f*1,110–14 = 61014*1,110–14 = 6,6 Hertz absolute Frequenzänderung

       (und das kann man sogar messen!)

 

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5)   Die Energie-Masse-beziehung ist nach Einstein: E=mc²  -  wobei hier die bewegte Masse m als Masse gemeint ist. Umgeformt auf m ergibt sich:

       m = E/c². Die Differenz zur Ruhemasse m0 ergibt die Massenzunahme:

       Dm = m–m0 = E/c² – m0 = E/c² – E0/c² = DE /c²

       Die zugeführte Energie ist die kinetische Energie DE = mv²/2.

       Das ergibt:  Dm = mv²/2c².

       Bei einer Masse von m0 = 1000 kg und der Geschwindigkeit

       v = 180 km/h = 50 m/s ergibt das die Massenzunahme

       Dm = 1000*50²/(2*91016) = 1,3910-11 kg

 

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