Fractal tiles associated with shift radix systems

Sobre o artigo

co-autores Valérie Berthé
Anne Siegel
Wolfgang Steiner
Jörg M. Thuswaldner
idioma inglês
publicado no Advances in Mathematics 226 (2011)
páginas 139 a 175
DOI 10.1016/j.aim.2010.06.010
suportado por FWF, projeto S9610 (NFN S9600)
título em português Azulejos fractais associados com sistemas de deslocamento de base

Resumo

Sistemas de deslocamento de base formam uma coleção de sistemas dinâmicos que dependem de um n-dimensional real parâmetro r. Eles generalizam sistemas de numeração bem conhecidos como beta-representações, representações com respeito a uma base racional ou sistemas canônicos de numeração. É conhecido que beta-representações e sistemas canônicos de numeração são intimamente relacionados a estruturas fractais como o clássico fractal de Rauzy ou o "Twin Dragon". Estes fractais se tornaram importante para estudar propriedades dos sistemas de numeração.
Neste artigo nós associamos uma coleção de azulejos fractais com sistemas de deslocamento de base. Nós mostramos que para alguns classes de parâmetros r estes azulejos coincidem com imagens afins dos conhecidos azulejos associados com beta-representações e sistemas canônicos de numeração. Por outro lado, estes azulejos produzem famílias naturais de azulejos para beta-representações com (não unitário) número de Pisot e sistemas canônicos de numeração com polinômio expandindo (não necessariamente mônico).
Nós também provamos propriedades básicas para os azulejos associados com sistemas de deslocamento de base. Realmente, nós mostramos que, sob algumas condições algébricas ao parámetro r do sistemas de deslocamento de base, estes azulejos produzem azulejamentos múltiplos e mesmo azulejamentos do d-dimensional espaço real. Verifica-se que estes azulejamentos têm uma estrutura mais complicada do que os azulejamentos relacionados aos conhecidos sistemas de numeração citados acima. Tais azulejamentos podem se compor de uma infinidade de formas. Além disso, os azulejos não precisam ser autoafins (ou grafo-guiados autoafins).

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