Grundbegriffe der Statistik

In der Statistik haben wir es mit Stichproben zu tun, die aus einer Grundgesamtheit (alle Einwohner eines Landes, alle Äpfel aus einer Lieferung ...) entnommen werden. Die Elemente der Stichprobe werden auf ein bestimmtes Merkmal untersucht, das in verschiedenen Ausprägungen auftreten kann.

n: Umfang der Stichprobe
x₁, x₂, ..., x_n: gemessene Werte (Ausprägungen des untersuchten Merkmals)
H₁, H₂, ... : absolute Häufigkeit
h₁, h₂, ...:relative Häufigkeit (h_i = H_i/n)

Je nach Art eines Merkmals unterscheidet man verschiedene Skalenniveaus:

• Nominalskala: verschiedene Eigenschaften, keine vorgegebene Reihenfolge (z.B. Geschlecht, Wohnort)

• Ordinalskala: die Werte können geordnet werden, man kann aber keine Abstände zwischen ihnen angeben (z.B. Rangplätze, Schulnoten)

• Intervallskala: der Abstand zwischen zwei Werten lässt sich messen, der Nullpunkt ist willkürlich festgelegt (z.B. Jahreszahlen, Temperatur in °C)

• Verhältnisskala: es gibt einen natürlichen Nullpunkt, man kann also sowohl die Differenz als auch das Verhältnis zweier Werte angeben (z.B. Alter, Einkommen). Solche Daten liefern die meiste Information.

Die Häufigkeiten stellt man gern in einem Histogramm dar (siehe Beispiel).
Bei großen Datenmengen teilt man die Werte in Klassen ein (z.B. Größe 150 - 160 cm, 160 - 170 cm ...)

Zentralmaße

Wir versuchen, die Stichprobe durch einen "mittleren Wert" zu beschreiben.

Der Mittelwert (das arithmetische Mittel) ist das wichtigste Zentralmaß:

(Zur Verwendung des Summenzeichens)

Wenn Werte mehrmals vorkommen, rechnet man besser mit den relativen Häufigkeiten:

(gewichtetes arithmetisches Mittel)

Bei klassifizierten Daten verwendet man die Klassenmitten als Messwerte (z.B. Körpergröße 150 - 160 cm: wir rechnen mit x_i = 155 cm). Der Mittelwert ist nur bei intervall- und verhältnisskalierten Daten sinnvoll.

Andere Mittelwerte

Median:

Das arithmetische Mittel hat den Nachteil, dass es sehr empfindlich gegenüber "Ausreißern" ist (wenn z.B. in einer Firma 9 Personen je 1000 € verdienen und der Chef 11000 €, beträgt das "Durchschnittseinkommen" 2000 €!) In solchen Fällen ist der Median (Zentralwert) aussagekräftiger: Wir ordnen die Daten der Größe nach und betrachten den Wert in der Mitte der Liste. Bei einer geraden Anzahl von Daten bilden wir das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Die so erhaltene Zahl hat die Eigenschaft, dass die Hälfte der Werte darunter, die Hälfte darüber liegt.

= x(n+1)/2	für ungerades n
= 1/2(xn/2 + xn/2+1)	für gerades n
(xi: Werte aus geordneter Urliste)

Der Median kann bei ordinal-, intervall- und verhältnisskalierten Daten angewendet werden.

Modus

Der Modus (Modalwert) ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Eine Stichprobe kann auch mehrere Modalwerte haben. Dieser Wert liefert am wenigsten Information, er kann aber auf allen Datenniveaus angewendet werden.

Streuungsmaße

liefern ein Maß dafür, wie sehr die gemessenen Werte vom Mittelwert abweichen.

Varianz und Standardabweichung

Wir interessieren uns für die Differenzen der gemessenen Werte zum Mittelwert. Damit wir nicht mit negativen Zahlen rechnen müssen, quadrieren wir diese Differenzen und bilden davon wieder den Mittelwert. So erhalten wir die Varianz:

Das kann man umformen zu folgender Formel, die leichter zu berechnen ist:

("Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts")

Wenn Werte mehrmals vorkommen, rechnet man wieder mit dem gewichteten Mittel:

(Achtung, Verwechslungsgefahr:
In manchen Büchern findet sich für die Varianz folgende Formel:
Sie wird dann verwendet, wenn man aufgrund einer Stichprobe die Varianz der Grundgesamtheit abschätzen will.)

Spannweite

Die Differenz zwischen dem kleinstem und dem größten Wert bezeichnet man als Spannweite (engl. range). Dieses Streuungsmaß ist besonders leicht zu berechnen.

R = x_max - x_min

Quartile:

Die Quartile definiert man analog zum Median:

unteres Quartil Q₁ bzw. Q_0,25: ¼ der Werte liegen darunter
oberes Quartil Q₃ bzw. Q_0,75: ¾ der Werte liegen darunter

Der Median ist in dieser Bezeichnungsweise das 2. Quartil Q₂ bzw. Q_0,5.
(Ebenso definiert man Perzentile, z.B. 10%-Perzentil Q_0,1: 10% der Werte liegen darunter.)

Eine sehr übersichtliche Darstellung von Median, Spannweite und Quartilen ist das Boxplot-Diagramm ("box and whiskers", siehe Beispiel): Die "Box" reicht vom unteren bis zum oberen Quartil, die Linie in der Mitte gibt den Median an. Der "Schnurrbart" reicht bis zum kleinsten bzw. größten Wert.

Beispiel:

1. Zehn Frauen wurden nach ihrer Körpergröße (in cm) gefragt.

   Urliste:
   168, 170, 161, 168, 162, 172, 164, 167, 170, 158

   Geordnete Urliste:
   158, 161, 162, 164, 167, 168, 168, 170, 170, 172

   Mittelwert:
   = (158+161+162+164+167+168+168+170+170+172)/10 = 166

   Median: = (167+168)/2 = 167,5

   Modi: 168 und 170

   Varianz und Standardabweichung:
   V(x) = (158²+161²+162²+164²+167²+168²+168²+170²+170²+172²)/10 - 166² = 18,6
   s = √18,6 = 4,313

   Spannweite: R = 172 - 158 = 14

   Quartile:
   Q₁ = 162 (liegt in der Mitte der unteren Hälfte)
   Q₃ = 170 (liegt in der Mitte der oberen Hälfte)

   
   Boxplot-Diagramm

   (Anmerkung: Die Berechnung der Quartile ist nicht ganz einheitlich; hier wurde offensichtlich nach einer etwas anderen Vorschrift gerechnet.)

2. Dieselben Frauen gaben auch ihre Schuhgröße an.

   Urliste:
   39, 39, 38, 38, 37, 41, 38, 38, 40, 37

   Hier rechnen wir besser mit den relativen Häufigkeiten:

   

   Schuhgröße	Hi	hi
   37	2	0,2
   38	4	0,4
   39	2	0,2
   40	1	0,1
   41	1	0,1

   Mittelwert:
   = 37·0,2 + 38·0,4 + 39·0,2 + 40·0,1 + 41·0,1 = 38,5

   Median: = 38

   Modus: 38

   Varianz und Standardabweichung:
   V(y) = 37²·0,2 + 38²·0,4 + 39²·0,2 + 40²·0,1 + 41²·0,1 - 38,5² = 1,45
   s = √11,45 = 1,204

   Spannweite: R = 41 - 37 = 4

   Quartile: Q₁ = 38, Q₃ = 39

Links:
http://medweb.uni-muenster.de/institute/imib/lehre/skripte/biomathe/jumbo.html:
ausführliches Skriptum der Universität Münster, mit vielen Java-Applets

Übungen

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