Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Eine stetige Zufallsvariable kann (in einem bestimmten Bereich) jeden beliebigen Wert annehmen. Man kann sie durch ihre Dichtefunktion f(x) beschreiben. Die Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen a und b liegt, entspricht der Fläche unter der Kurve, also dem Integral .

Die gesamte Fläche unter der Kurve ist 1 (sicheres Ereignis). Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, ist bei stetigen Verteilungen 0. Daher ist es egal, ob man P(X < a) oder P(X ≤ a) berechnet.

Auch Erwartungswert und Standardabweichung einer stetigen Verteilung werden mit Hilfe des Integrals definiert.

Die Normalverteilung

Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die von C. F. Gauß (1777 - 1855) entdeckte Normalverteilung (die bekannte "Glockenkurve"):

mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ.

Sie tritt bei vielen Größen im Alltag auf. Das Integral dieser Funktion können wir nicht berechnen, aber das haben wir zum Glück gar nicht nötig: Durch die Standardisierungsformel

erhalten wir die Standardnormalverteilung

,

deren Stammfunktion Φ wir in einer Tabelle nachschlagen können (in jeder Formelsammlung).

Der Wert Φ(z) in der Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die normierte Zufallsvariable Z ≤ z ist: P(Z ≤ z) = Φ(z) In manchen Tabellen sind nur die Werte für positive z angeführt. Aus Symmetriegründen ist Φ(-z) = 1 - Φ(z)
Die Wahrscheinlichkeit, dass Z ≥ z ist (Gegenereignis), beträgt P(Z ≥ z) = 1 - Φ(z)
Die Wahrscheinlichkeit, dass Z zwischen den Werten z1 und z2 liegt, beträgt P(z1 ≤ Z ≤ z2) = Φ(z2) - Φ(z1)
Soll Z in einem symmetrischen Bereich (-z, z) liegen, erhalten wir P(-z ≤ Z ≤ z) = Φ(z) - Φ(-z) = 2Φ(z) - 1 Dieser Wert wird in manchen Tabellen als D(z) angegeben.

Beispiel:

Eine Machine erzeugt Nägel mit einer durchschnittlichen Länge von μ = 50 mm. Die Länge der Nägel ist normalverteilt, die Standardabweichung beträgt σ = 2,5 mm.

1. Wieviel Prozent aller Nägel sind kürzer als 48 mm?
   Normierung: z = (48 - 50)/2,5 = -0,8
   P(X < 48) = Φ(-0,8) = 0,2119 = 21,19%

2. Wieviel Prozent aller Nägel sind länger als 51 mm?
   z = (51 - 50)/2,5 = 0,4
   P(X > 51) = 1 - Φ(0,4) = 0,3446 = 34,46%

3. Wieviel Prozent aller Nägel sind zwischen 48 und 51 mm lang?
   P(48 ≤ X ≤ 51) = Φ(0,4) - Φ(-0,8) = 0,4435 = 44,35%

4. Wie lang muss ein Nagel sein, damit er zu den 10% kürzesten gehört?
   Φ(z) = 0,1 Þ z = -1,28
   x = 50 - 1,28·2,5 = 46,8 Þ er darf höchstens 46,8 mm lang sein.

5. Wie lang muss ein Nagel sein, damit er zu den 20% längsten gehört?
   1 - Φ(z) = 0,2 Þ Φ(z) = 0,8 Þ z = 0,84
   x = 50 + 0,84·2,5 = 52,1 Þ er muss mindestens 52,1 mm lang sein.

6. In welchem symmetrischen Bereich (μ - ε, μ + ε) liegt die Länge von 90% aller Nägel?
   D(z) = 0,9 Þ z = 1,64
   x₁ = 50 - 1,64·2,5 = 45,9, x₂ = 50 + 1,64·2,5 = 54,1
   90% aller Nägel sind zwischen 45,9 mm und 54,1 mm lang.

Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Wenn die Anzahl der Versuche sehr groß ist, wird die Berechnung der Binomialverteilung zu aufwändig. Man kann sie dann näherungsweise durch die Normalverteilung mit demselben μ und σ ersetzen.
(Faustregel: σ muss ≥ 3 sein.)

Beispiel:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 300maligem Würfeln höchstens 40mal Sechs zu werfen?
n = 300, p = 1/6 Þ μ = 300·1/6 = 50, σ = √(300·1/6·5/6) = 6,45
z = (40 - 50)/6,45 = -1,55
P(X ≤ 40) = Φ(-1,55) = 0,0606

Die Annnäherung wird noch genauer, wenn man die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt.
Im Histogramm der Binomialverteilung reicht z.B. der Streifen, der X = 40 entspricht, von 39,5 bis 40,5.
Für die Berechnung von P(X ≤ 40) nimmt man daher 40,5 als obere Grenze.
Für P(40 ≤ X ≤ 50) nimmt man die Grenzen 39,5 und 50,5.

Im obigen Beispiel erhält man mit Stetigkeitskorrektur:
z = (40,5 - 50)/6,45 = -1,47
P(X ≤ 40) = Φ(-1,47) = 0,0708

Weitere stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Übungen:
Normalverteilung
Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

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