Über den Artikel

Co-Autoren Valérie Berthé
Anne Siegel
Wolfgang Steiner
Jörg M. Thuswaldner
Sprache Englisch
erschienen in Advances in Mathematics 226 (2011)
Seiten 139 bis 175
DOI 10.1016/j.aim.2010.06.010
Unterstützt durch FWF, Projekt S9610 (NFN S9600)
Titel auf Deutsch Fraktale Kacheln von Schiebebasissystemen

Zusammenfassung

Schiebebasissystemen bilden eine Sammlung dynamischer Systeme welche von einem d-dimensionalen reellen Parameter r abhängen. Sie verallgemeinern bekannte Ziffernsysteme wie etwa Beta-Entwichlungen, Entwicklungen bezüglich einer rationalen Basis oder kanonische Ziffernsysteme. Beta-Entwicklungen und kanonische Ziffernsysteme stehen bekanntlich in engem Zusammenhang mit fraktalen Strukturen wie etwa das klassische Rauzy Fraktal oder der "Twin Dragon". Es stellt sich heraus dass diese Fraktale wichtige Aufschlüsse über die verschiedenen Ziffernsysteme geben.
Im vorliegenden Artikel assoziieren wir eine Sammlung fraktaler Kacheln mit Schiebebasissystemen. Wir zeigen dass diese Kacheln für gewisse Klassen von Parametern r mit affinen Bildern bekannten Kacheln von Beta-Entwichlungen und kanonischen Ziffernsystemen übereinstimmen. Andererseits liefern diese Kacheln natürliche Familien von Kacheln, sowohl für Beta-Entwichlungen mit einer Pisot-Zahl (nicht notwendergerweise Einheit) als Basis als auch für kanonische Ziffernsysteme mit (nicht notwendergerweise normiertem) expandierendem Polynom.
Wir zeigen auch grundlegende Eigenschaften für Kacheln von Schiebebasissystemen. In der Tat beweisen wir dass, mit gewissen algebraischen Bedingungen an den Parameter r des Schiebebasissystems, diese Kacheln Mehrfachkachelungungen und sogar (echte) Kachelungen des d-dimensionalen reelen Vektorraums ergeben. Es stellt sich heraus dass diese Kachelungen eine kompliziertere Struktor besitzen als Kachelungen welche durch die oben genannten bekannten Ziffernsysteme entstehen. Eine solche Kachelung kann aus Kacheln bestehen welche unendlich vielen verschiedene Formen annehmen. Des Weitern müssen die Kacheln nich notwendigerweise selbstaffin (oder Graphen-gesteuert selbstaffin) sein.

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