Aussagen

Einige Symbole aus der mathematischen Logik:

und
oder
daraus folgt; wenn ... , dann ...
genau dann, wenn ...
für alle
es existiert ein

Beispiele:

x = 1 ⇔ 2x = 2 (x = 1 genau dann, wenn 2x = 2)
x = 1 ⇒ x = 1 (wenn x = 1, dann ist x = 1;
die Umkehrung gilt nicht, denn wenn x = 1, kann x = 1 oder -1 sein)
ab ∈ Nu ⇔ (a ∈ Nu) ∧ (b ∈ Nu) (ein Produkt ab ist ungerade, wenn a und b ungerade sind)
ab ∈ Ng ⇔ (a ∈ Ng) ∨ (b ∈ Ng)
(ein Produkt ab ist gerade, wenn a oder b gerade ist)

Allaussagen

∀ x ∈ R: x ≥ 0 (das Quadrat jeder rellen Zahl ist größer oder gleich 0)
∀ n ∈ N: √n ∈ N (die Wurzel jeder natürlichen Zahl ist eine natürliche Zahl -
falsch, denn z.B. √2 ∉ N)

Eine Allaussage zu beweisen kann sehr schwierig sein; um sie zu widerlegen, genügt es aber, ein Gegenbeispiel anzugeben.

Existenzaussagen

∃ x ∈ Z: x = 9 (es existiert eine ganze Zahl, deren Quadrat 9 ist - richtig, z.B. x = 3)
∃ x ∈ Z: x = 10 (es existiert eine ganze Zahl, deren Quadrat 10 ist - falsch)

Um eine Existenzaussage zu beweisen, genügt es, ein Beispiel anzugeben; sie zu widerlegen kann aber schwierig sein.

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