Trennung der Variablen:
y·dy = - x·dx
Integration:
ò y·dy = - ò x·dx
x2 + y2 = 2C
Ersetze 2C durch C1:
x2 + y2 = C1
Differentialgleichungen - Trennung der Variablen
Hier findest du einige einfache Differentialgleichungen, die du mit der Methode der "Trennung der Variablen" lösen kannst.
Beispiel:
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Trennung der Variablen: |
y·dy = - x·dx |
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Integration: |
ò y·dy = - ò x·dx
x2 + y2 = 2C |
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Ersetze 2C durch C1: |
x2 + y2 = C1 |
Die Lösungen bilden eine Schar von konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung.
Übungsbeispiele:
Löse die folgenden Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen und skizziere die von den Lösungen gebildete Kurvenschar:
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Differentialgleichung |
Lösung |
Kurvenschar |
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1. |
y‘ = a× y |
y = k× eax |
Exponentialfunktionen |
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2. |
y‘ = y2 |
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Hyperbeln (in x-Richtung verschoben) |
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3. |
y‘ = -xy |
y = k× e-x²/2 |
Gauss’sche Glockenkurven |
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4. |
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x2 - y2 = c |
Hyperbeln in Hauptlage |
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5. |
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y = kx |
Geraden durch den Ursprung |
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6. |
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Hyperbeln mit den Koordinatenachsen als Asymptoten |
