(Die mit (*) gekennzeichnete Beispiele haben einen höheren Schwierigkeitsgrad!)

1. Ein Kapital wird mit a) 3% b) 5% c) 8% Zinsen angelegt. Berechne, in welcher Zeit sich das Kapital verdoppelt!
2. Die Bevölkerung eines Landes wächst pro Jahr um 1,5%. Derzeit beträgt sie 12 Millionen.
1. Wann wird das Land 15 Millionen Einwohner haben?
2. Wann wird sich die Bevölkerung verdoppelt haben?
3. Der Bevölkerungszuwachs lässt sich durch die Formel
   B(t) = B₀·e^lt
   beschreiben. Berechne die Konstante l!
3. Angenommen, die Weltbevölkerung vermehrt sich nach der Formel
   B(t) = B₀·e^{l t}
   1960 gab es ca. 3 Mrd. Menschen, 1995 ca. 5,6 Mrd.
1. Bestimme die Konstante l!
2. Wieviel Prozent beträgt das jährliche Wachstum der Weltbevölkerung?
3. Wann wird die Erde 15 Mrd. Einwohner haben?
4. Ein Bakterienstamm hat sich in 12 Stunden von 10000 auf 53500 Stück vermehrt.
1. Zeige, dass die stündliche Vermehrungsrate ca. 15% beträgt!
2. Wann werden die Bakterien auf 200 Millionen angewachsen sein?
5. Vor 10 Jahren betrug der Holzbestand eines Waldes 7000 m³. Ohne Schlägerung ist er inzwischen auf 9880 m³ angewachsen. Man darf annehmen, dass das Holzwachstum ein exponentieller Vorgang ist.
1. Zeige, dass die jährliche Wachstumsrate ca. 3,5% beträgt.
2. Berechne die Zeitspanne, innerhalb der sich der Holzbestand verdoppelt bzw. verdreifacht.
3. Man hat vor, in 3 Jahren 3000 m³ Holz zu schlägern. Wann wird dieser Wald den heutigen Holzbestand wieder erreichen?
6. Der radioaktive Zerfall eines Elements lässt sich durch die Formel
   N(t) = N₀·e^-lt
   beschreiben. Die Zeit t, in der von einer vorhandenen Stoffmenge die Hälfte zerfällt, heißt Halbwertszeit. Für Radium beträgt sie z.B. 1620 Jahre.
1. Berechne die Zerfallskonstante l!
2. Wieviel ist von dem ersten Gramm Radium, das Marie Curie 1898 herstellte, noch übrig? (Rechne mit t = 100.)
3. Wann wird nur mehr 0,1 g vorhanden sein?
7. Vervollständige die folgende Tabelle:
   

Element	Halbwertszeit	l	Abnahme pro Zeiteinheit in %	Wann ist noch 1% übrig?
Radium	1620 Jahre
Caesium 137		0,0231 (t in Jahren)
Phosphor 32		0,0485 (t in Tagen)
Jod 131	8 Tage
Polonium 218			20% / Minute

8. Eine Tierpopulation hat sich in 5 Jahren von 200 auf 250 Tiere vergrößert. Angenommen, die Vermehrung erfolgt exponentiell, d.h. nach der Formel

   B(t) = a·e^lt

   (a ist der Anfangswert).
1. Berechne die Konstante l!
2. Wieviel Prozent beträgt die jährliche Vermehrung?
3. Wann hat sich die Population verdoppelt bzw. vervierfacht?
9. (*) In der Realität ist unbegrenztes Wachstum nicht möglich. Wenn die Zahl der Tiere nach oben begrenzt ist (Begrenztes Wachstum), lässt sich die Vermehrung besser durch folgende Gleichung beschreiben:

   B(t) = G - (G - a)·e^-lt

   (a ist wieder der Anfangswert, G die obere Grenze)
   Angenommen, die Tierpopulation aus Beispiel 8 vermehrt sich nach dieser Formel, G = 1000. Ermittle l und berechne, wann sich die Population verdoppelt hat!
10. (*) Die beste Näherung erhält man durch folgende Gleichung (Logistisches Wachstum):

    

    Mit den Angaben von Bsp. 8 u. 9 erhält man: l = 0,0000575 (Kontrolle!)
    Wie lange braucht die Population unter diesen Voraussetzungen, um sich zu verdoppeln?
11. (*) In einer Badewanne befindet sich heißes Wasser von der Temperatur d ₂ = 60°C. Die Temperatur im Badezimmer beträgt d ₁ = 25°C. Die Abkühlung auf die Temperatur d erfolgt nach folgendem Gesetz:
    d = d ₁ + (d ₂ - d ₁)× e^{-0.05 t} (t in Minuten, d in Celsiusgrad)
1. Welche Temperatur hat das Wasser nach 15 Minuten?
2. In welcher Zeit kühlt das Wasser auf 37°C (Badetemperatur) ab?
12. (*) Der Durchmesser einer Fichte, gemessen in 1,3 m Höhe, kann näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben werden:
    
    (d: Durchmesser in m, t: Alter in Jahren)
    Wie alt ist eine Fichte mit 0,4 m Durchmesser?

Lösungen:

1. a) 24 J. (23,5)       b) 15 J. (14,2)       c) 9 J. (9,006)
2. a) in 15 J.       b) in 46,5 J.       c) l = 0,0149
3. a) l » 0,018       b) » 1,8%       c) ca. 2050
4. b) » 71 Stunden
5. b) » 20 Jahre bzw. » 32 Jahre       c) in 9,3 Jahren
6. a) l = 0,0004279       b) 0,958 g       c) nach 5382 Jahren (im Jahr 7280)

7. Radium	1620 J.	0,0004279	0,043 %	nach 10763 J.
   Caesium 137	30 J.	0,0231	2,28 %	nach 199 J.
   Phosphor 32	14,3 T.	0,0485	4,73%	nach 95 T.
   Jod 131	8 T.	0,08664	8,3 %	nach 53 T.
   Polonium 218	3,1 Min.	0,2231	20 %	nach 20,6 Min.

8. a) l = 0,0446       b) 4,56%       c) 15,5 Jahre bzw. 31 Jahre
9. l = 0,0129, t » 22 Jahre
10. 17 Jahre
11. a) 41,5°C       b) 21,4 min
12. » 52 Jahre

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