Extremwertberechnungen

In der Praxis wird man oft vor die Aufgabe gestellt, eine Größe (Fläche, Volumen, Materialverbrauch, Kosten... ) zu optimieren. Wenn wir die Größe durch eine Funktion in einer Variablen ausdrücken können, können wir mit Hilfe der Ableitung den Extremwert berechnen. Wenn mehrere Variablen vorkommen, müssen wir diese zuerst durch eine ausdrücken.

Schema zum Lösen einer Extremwertaufgabe:

Beispiele:

  1. Entlang einer Mauer soll eine rechteckige Fläche von 50 m eingezäunt werden. Wie lang müssen die Seiten des Rechtecks sein, damit man möglichst wenig Zaun braucht?

    Zielfunktion: u(x,y) = x + 2y ® Minimum
    Nebenbedingung: xy = 50
    y = 50x-1
    einsetzen: u(x) = x + 100x-1
    differenzieren: u'(x) = 1 - 100x-2
    u''(x) = 200x-3
    Minimum berechnen: 1 - 100x-2 = 0
    x = 10, y = 5
    Kontrolle: u''(10) = 200/1000 > 0 Þ Minimum
  2.  

  3. Welches von allen Rechtecken, die man einem Kreis vom Radius r einschreiben kann, hat den größten Flächeninhalt?

    Zielfunktion: A(x,y) = xy ® Maximum
    Nebenbedingung: x + y = 4r
    y = Ö(4r - x)
    einsetzen: A(x) = x·Ö(4r - x)
    vereinfachen: A~(x) = x·(4r - x) = 4rx - x4
    differenzieren: A~'(x) = 8rx - 4x
    A~''(x) = 8r - 12x
    Maximum berechnen: 8rx - 4x = 0
    x = rÖ2, y = rÖ2 (Quadrat)
    (x = 0 und die negative Lösung kommen nicht in Frage)
    Kontrolle: A~''(rÖ2) = -16r < 0 Þ Maximum
  4.  

  5. Einem Kegel vom Radius R und der Höhe H werden Zylinder eingeschrieben. Welcher von diesen Zylindern hat das größte Volumen?

    Zielfunktion: V(r,h) = rph ® Maximum
    Nebenbedingung: Die roten Dreiecke sind ähnlich: H : R = h : (R-r)
    einsetzen:
    vereinfachen: V~(r) = r(R-r) = Rr - r
    differenzieren: V~'(r) = 2Rr - 3r
    V~''(r) = 2R - 6r
    Maximum berechnen: 2Rr - 3r = 0
    r1 = 0, r2 = 2R/3
    Kontrolle: V~''(0) = 2R > 0 Þ Minimum
    V~''(2R/3) = -2R < 0 Þ Maximum
    r = 2R/3, h = H/3

Links:
http://www.mathe-online.at/mathint/anwdiff/i.html#Extremwertaufgaben: ausführliche Erklärung
http://www.mathe-online.at/mathint/anwdiff/i_ExtrAufg.html: ein Beispiel
http://www.mathe-online.at/mathint/anwdiff/i_verstehen.html: etwas komplizierteres Beispiel
http://www.mathe-online.at/galerie/anwdiff/anwdiff.html#es: Applet "Schema einer Extremwertaufgabe"
http://www.mathe-online.at/materialien/matroid/files/ex/ex.html: ausführliche Erklärung mit vielen Beispielen

Übungen

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