Eigenschaften von Folgen
Berechne die ersten fünf Glieder der angegebenen Folgen und untersuche, ob sie monoton sind:
Untersuche, ob die Folgen aus Beispiel 1 beschränkt sind. Gib, wenn möglich, je eine obere und untere Schranke an.
Untersuche, ob die Folgen aus Beispiel 1 konvergent sind. Wenn ja, gib den Grenzwert an.
Arithmetische Folgen und Reihen
Eine Leiter hat 9 Sprossen in gleichmäßigen Abständen. Die erste Sprosse ist 30 cm hoch, die letzte 2,10 m. Berechne die Höhe der anderen Sprossen!
Eine Maschine hat einen Neuwert von 60000 €. Nach 5 Jahren beträgt der Wert bei linearer Abschreibung (d.h. jedes Jahr wird derselbe Betrag abgeschrieben) nur noch 35000 €.
Ein Sportler bereitet sich auf einen Marathonlauf vor. Am ersten Tag läuft er 5000 m. Er hat vor, drei Wochen lang seine Leistung täglich um 500 m zu steigern.
Bei einem Wettbewerb werden 10 Preise vergeben. Der 1. Preis beträgt 1500 €, jeder weitere Preisträger erhält um 100 € weniger als der vorige.
Geometrische Folgen und Reihen
Sterne werden nach ihrer scheinbaren Helligkeit in Größenklassen eingeteilt,
die eine geometrische Folge bilden. Ein Stern 1. Größe ist dabei 100mal so hell wie
ein Stern 6. Größe.
Angenommen, ein Stern 6. Größe hat die Helligkeit 1.
Wie hell sind dann Sterne 1., 2., 3., 4. und 5. Größe?
Wenn die Frequenz eines Tons verdoppelt wird, klingt er um eine Oktav höher.
Bei der gleichschwebend-temperierten Stimmung von Musikinstrumenten wird eine Oktav
in 12 Halbtöne eingeteilt, deren Frequenzen eine geometrische Folge bilden. Berechne die
Frequenzen aller Halbtöne zwischen a1
Ein Kind baut einen Turm aus 8 Plastikwürfeln. Die Seitenlänge des 1. Würfels beträgt 12 cm, jeder weitere hat die 0,8-fache Seitenlänge des vorigen.
An einen Halbkreis mit dem Radius r wird ein halb so großer Halbkreis angefügt, daran wieder ein halb so großer usw., so dass eine Spirale entsteht (Bild).
Archimedes berechnete den Flächeninhalt des Parabelsegments folgendermaßen (Bild):
Er schrieb dem Segment das größte Dreieck ein. Den Restsegmenten schrieb er wieder Dreiecke
ein und zeigte, dass diese zusammen 1/4 der Fläche des ersten Dreiecks besitzen. Dieser
Vorgang lässt sich beliebig oft wiederholen, wobei die Restfläche gegen 0 geht.
Wenn das erste Dreieck den Flächeninhalt A besitzt, wie groß ist dann die Fläche des
Parabelsegments?