Übungen: Bestimmte Integrale

  1. Berechne die Integrale der folgenden Funktionen im angegebenen Intervall:

    1. f(x) = 2x            [1, 3]
    2. f(x) = x/2 + 1       [-2, 2]
    3. f(x) = 5 - x       [1, 4]
    4. f(x) = x²            [1, 3]
    5. f(x) = x²/4 + 2       [0, 4]
    6. f(x) = 4 - x²/3       [-3, 3]
    7. f(x) = 4x - x²       [0, 4]
    8. f(x) = x³ + 1            [-1, 1]
    9. f(x) = x³/4 - x + 1       [-2, 2]
    10. f(x) = x³/4 - 3x²/2 + 7x/2       [0, 3]
    11. f(x) = x4/4 - 2x² + 4       [-2, 2]
    12. f(x) = 4 - 1/x²       [0,5; 2]
    13. f(x) = x + 1/x       [1, 2]
    14. f(x) = √x            [0, 9]

    Ergebnisse

Flächenberechnungen

  1. Berechne den Inhalt der Fläche zwischen Kurve und x-Achse:

    1. f(x) = 4 - x²
    2. f(x) = x² - x - 2
    3. f(x) = 4x² - x³
    4. f(x) = x³ - 6x² + 9x
    5. f(x) = x³ - 6x² + 8x
    6. f(x) = x³ - 8x² + 15x
    7. f(x) = x³/3 - 3x
    8. f(x) = x4 - 5x² + 4

  2. Berechne den Inhalt der Fläche zwischen den beiden Kurven:

    1. f(x) = x², g(x) = x + 6
    2. f(x) = 4x - x², g(x) = x
    3. f(x) = x², g(x) = 4x - x²
    4. f(x) = x², g(x) = 5 - x²/4
    5. f(x) = x², g(x) = x³
    6. f(x) = x², g(x) = x4
    7. f(x) = x³ + 1, g(x) = 4x + 1
    8. f(x) = x³ - 6x² + 9x, g(x) = 3x - x²

  3. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) =x²/4 +2, der Tangente im Punkt P(4/yP) und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

  4. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = x³/16 - 3x²/8 + 4, der Wendetangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird? (Für die Skizze: Die Nullstelle liegt ca. bei (-2,71/0).)

  5. Der Punkt P(6/yP) liegt auf der Kurve y = x3/24. Die x-Achse, die Ordinate von P und die Gerade durch P und den Koordinatenursprung bilden ein Dreieck. Dieses Dreieck wird duch die Kurve und die Tangente in P in drei Teile geteilt. In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der drei Teilflächen?

    6. Ergebnisse

Volumsberechnungen

  1. Der Abschnitt des Graphen von f(x) zwischen den Punkten (x1/f(x1)) und (x2/f(x2)) rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des dabei entstehenden Drehkörpers!

    1. f(x) = 3x            x1 = 0, x2 = 2
    2. f(x) = x/2 + 3       x1 = 0, x2 = 4
    3. f(x) = x²/3            x1 = 0, x2 = 3
    4. f(x) = x² + 1       x1 = 0, x2 = 2
    5. f(x) = ³√x            x1 = 1, x2 = 8
    6. f(x) = 1/x            x1 = 1, x2 = 5

  2. Wie Bsp. 7, wobei die Kurvenstücke um die y-Achse rotieren.

  3. Gegeben sind die Kurve y² = 8x und die Gerade y = 2x. Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn das Flächenstück zwischen der Kurve und der Geraden um die x-Achse rotiert!

  4. Das Flächenstück zwischen den Parabeln y² = 4x und x² = 4y rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Drehkörpers?

  5. Die Form einer Vase entsteht, wenn der Graph der Funktion f: y = x²/20 + 5 zwischen den Grenzen x1 = -8 und x2 = 10 um die x-Achse rotiert (Maße in cm). Berechne das Volumen der Vase.

  6. Der Innenraum eines Trinkglases hat die Form eines Paraboloids (r = 3 cm, h = 12 cm).

    1. Wieviel Flüssigkeit fasst das Glas?
    2. In welcher Höhe muss die Markierung für 1/8 l angebracht werden?
    (Anleitung: Ermittle die Gleichung der Parabel in der Form y = ax².)

  7. Ein Fass ist 8 dm lang, sein Durchmesser beträgt in der Mitte 8 dm und am Rand 6 dm. Die Fassdauben haben die Form einer Parabel. Wie groß ist das Volumen des Fasses?
    (Anleitung: Zeichne das Fass so in das Koordinatensystem, dass der Ursprung im Mittelpunkt liegt und die x-Achse die Rotationsachse ist, und ermittle die Gleichung der Parabel y = ax² + b.)

  8. Die Form einer Linse entsteht, wenn das Flächenstück zwischen zwei Parabeln um die y-Achse rotiert. Die eine Parabel hat ihren Scheitel im Koordinatenursprung, die andere im Punkt S(0/3), und sie schneiden einander im Punkt P(8/2). Ermittle die Gleichungen der Parabeln (Ansatz: y = ax² + b) und das Volumen der Linse.

  9. Wie Bsp. 14, wobei der Scheitel der einen Parabel im Koordinatenursprung, der der anderen im Punkt S(0/-1,5) liegt und sie einander in P(5/1) schneiden.

    10. Ergebnisse

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