Die Lösungsmenge der UngleichungDie Lösungsmenge der Gleichung ax + by = c lässt sich als Gerade darstellen (siehe Gleichungen). Diese Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Für alle Punkte auf der einen Seite der Geraden gilt ax + by < c, auf der anderen Seite ax + by > c.
Die Lösungsmenge der Ungleichung
ax + by < c bzw. ax + by > c
entspricht daher einer offenen Halbebene (ohne Randgerade),
die Lösungsmenge der Ungleichung
ax + by ≤ c bzw. ax + by ≥ c
einer abgeschlossenen Halbebene (einschließlich Randgerade).
Auf welcher Seite welches Vorzeichen glit, kann man leicht durch Einsetzen eines Punktes, z.B. (0/0), feststellen.
Beispiel: Die Abbildung zeigt die Lösungsmenge der Umgleichung 2x + y ≤ 6.
Die Lösungsmenge eines Ungleichungssystems ist der Durchschnitt der entsprechenden Halbebenen. Das ist im Allgemeinen ein konvexes Vieleck (d.h. ohne einspringende Ecken), sie kann aber auch leer sein.
In der Praxis stellt sich oft das Problem, eine bestimmte Größe, die sogenannte Zielfunktion, zu optimieren (z.B. soll der Gewinn maximal oder die Kosten minimal werden). Diese Funktion hängt von mehreren Variablen ab, die aber bestimmte einschränkende Nebenbedingungen einhalten müssen (z.B. begrenzte Material- oder Zeitressourcen). Wenn sich Zielfunktion und Nebenbedingungen durch lineare Gleichungen bzw. Ungleichungen ausdrücken lassen, spricht man von linearer Optimierung. Optimierungsprobleme mit zwei Variablen können graphisch gelöst werden.
Beispiel:
Ein Weinhändler verkauft Weißwein und Rotwein. Er kann pro Tag von jeder Sorte höchstens 20 Flaschen verkaufen,
insgesamt höchstens 30 Flaschen. Bei einer Flasche Weißwein beträgt sein Gewinn 1 €, bei einer Flasche Rotwein
2 €. Wie viele Flaschen muss er von jeder Sorte verkaufen, damit sein Gewinn maximal wird?
Wir bezeichnen die Menge an Weißwein mit x, die Menge an Rotwein mit y. Die Zielfunktion (der Gewinn) lautet
z(x,y) = x + 2y → Maximum
Die Nebenbedingungen schreiben wir als Ungleichungen:
I: x ≤ 20 II: y
≤ 20 III: x + y ≤ 30 IV: x ≥ 0 V: y
≥ 0
Die letzten beiden Ungleichungen sind die sogenannten Nichtnegativitätsbedingungen - der Händler kann ja keine negativen Mengen verkaufen.
Wir zeichnen die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems, den sogenannten zulässigen Bereich:
Die Linien, auf denen die Zielfunktion einen konstanten Wert annimmt (sozusagen die Höhenlinien), entsprechen
parallelen Geraden. Es genügt daher, eine solche Gerade zu zeichnen (z.B. für z = 0) und so weit wie möglich nach oben zu
verschieben, so dass sie den zulässigen Bereich gerade noch berührt. Wie wir sehen, ist das im Schnittpunkt
der Geraden II und III der Fall, also für
(Eine andere Möglichkeit wäre, die Koordinaten aller Eckpunkte auszurechnen und in die Zielfunktion einzusetzen.)
Der Händler soll also 10 Flaschen Weißwein und 20 Flaschen Rotwein verkaufen. Sein Gewinn beträgt dann
Wenn das Minimum der Zielfunktion gesucht ist, muss man die Höhenlinie so weit wie möglich nach unten verschieben.
Die Zielfunktion nimmt ihren optimalen Wert immer am Rand des zulässigen Bereichs an - entweder in einem Eckpunkt oder, wenn die Höhenlinien zu einer Randgeraden parallel sind, auf einer Strecke. In diesem Fall stellen alle Punkte der Strecke gleichwertige Lösungen dar.
Lernziele:
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Auf http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node146.html gibt es eine Erklärung auf etwas wissenschaftlicherem Niveau.