Dabei handelt es sich um die einfachste diskrete Verteilung: Jeder ganzzahlige Wert
von 1 bis n wird mit derselben Wahrscheinlichkeit angenommen.Gleichverteilung
Dabei handelt es sich um die einfachste diskrete Verteilung: Jeder ganzzahlige Wert
von 1 bis n wird mit derselben Wahrscheinlichkeit angenommen.
k = 1, 2, ... n
Beispiel: X ist die Augenzahl bei einmaligem Würfeln mit einem fairen Würfel.
Hypergeometrische Verteilung
Beim Ziehen ohne Zurücklegen können wir nicht mit Binomialverteilung rechnen, weil sich die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Zug ändern. Hier müssen wir auf die Formel "Anzahl der günstigen Fälle/Anzahl der möglichen Fälle" zurückgreifen.
Wir gehen aus von einer Grundgesamtheit aus N Elementen, von denen M eine bestimmte
Eigenschaft ("Merkmal") haben. Es werden n Elemente ohne Zurücklegen gezogen. X sei die Anzahl der Elemente
der Stichprobe, die die untersuchte Eigenschaft haben. Dann gilt:
k = 0, 1, 2, ... n
(Die Abbildung zeigt das Histogramm einer hypergeometrischen Verteilung mit N = 10, K = 5 und n = 4. Vergleiche mit der entsprechenden Binomialverteilung!)
Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto "6 aus 45" 4 Richtige zu tippen?
Es gibt (6 über 4) Möglichkeiten, aus den 6 richtigen Zahlen 4 auszuwählen, und (39 über 2) Möglichkeiten, von den 39 falschen Zahlen 2 anzukreuzen. Insgesamt sind (45 über 6) verschiedene Tipps möglich. Wir erhalten daher für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
= 0,001365
Die Poisson-Verteilung gilt für seltene Ereignisse, die voneinander unabhängig sind.
Man erhält sie als Grenzfall der Binomialverteilung, wenn n sehr groß
und p sehr klein wird. X ist die Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit.
Mit λ = n·p erhält man die Wahrscheinlichkeit
k = 0, 1, 2, ...
Beachte, dass k beliebig große Werte annehmen kann. Für große k wird aber die Wahrscheinlichkeit verschwindend klein.
Auch die hypergeometrische Verteilung kann man für große n durch die Poisson-Verteilung annähern.
Beispiel: In eine Bibliothek kommen durchschnittlich 3 Benutzer pro Stunde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der nächsten Stunde 5 Benutzer kommen?
Wir können die Angabe etwa so auffassen, dass in einer Woche (40 Stunden) 120 Benutzer kommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Benutzer in der nächsten Stunde kommt, beträgt 1/40. Daher ist λ = 120/40 = 3. Es handelt sich hier um einen sogenannten Poisson-Prozess der Dichte 3. Wir erhalten für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Wir betrachten wieder ein Bernoulli-Experiment mit den Wahrscheinlichkeiten P(A) = p,
P(A') = q = 1 - p. Diesmal interessiert uns aber, wie lange wir warten müssen, bis das Ereignis
A zum ersten Mal auftritt. Das ist beim k-ten Versuch der Fall, wenn auf (k-1) Misserfolge
ein Erfolg folgt; die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt
P(X=k) = p·qk-1
Auch hier kann k beliebig große Werte annehmen.
Beispiel: Beim Spiel "Mensch ärgere dich nicht" darf man eine Figur erst ins Spiel bringen, wenn man eine Sechs gewürfelt hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man darauf bis zur dritten Runde warten muss?
Es ist p = 1/6, q = 5/6. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt daher
P(X=3) = 1/6·(5/6)2 = 0,1157
