Juttas Mathe-Newsletter

Nr. 16 / Oktober 2006

Ein bisschen Gruppentheorie

Diesmal hat es etwas länger gedauert, weil ich zu Semesterbeginn ziemlich im Stress war. Bitte um Entschuldigung! Heute möchte ich euch eine kleine Spielerei von mir vorstellen.

Einige Formeln

Mir ist aufgefallen, dass viele Probleme zu sehr ähnlichen Formeln führen:

Die Kehrwertaddition

Bei allen diesen Formeln werden Kehrwerte addiert. Das hat mich auf die Idee gebracht, diese Rechenoperation zu untersuchen. Ich nenne sie "Kehrwertaddition" und bezeichne sie mit # (weil ich dieses Zeichen sonst nicht brauche). Wir definieren also

bzw.

Beispiel: 3 # 6 = 2, weil 1/3 + 1/6 = 1/2.

Man kann leicht einsehen, dass # kommutativ und assoziativ ist. (Es ist 1/a + 1/b = 1/b + 1/a und 1/a + (1/b + 1/c) = (1/a + 1/b) + 1/c, also sind auch die Kehrwerte gleich).

Die Kehrwertaddition mit 0 ist nach der ersten Definition sinnlos, nach der zweiten Definition erhält man a # 0 = 0 für alle a. Andrerseits kann nur dann a # b = 0 sein, wenn entweder a = 0 oder b = 0 ist (ähnlich wie bei der Multiplikation).

Während bei der normalen Adddtion die Summe größer ist als die einzelnen Summanden, gilt für die Kehrwertaddition das Gegenteil: a # b ist kleiner als a und b (zumindest solange a und b positiv sind).

Wenn wir die Konstruktion aus dem ersten Beispiel ein bisschen abändern (den Winkel von 90 auf 120 vergrößern), erhalten wir eine schöne graphische Darstellung: Wir zeichnen drei Skalen jeweils im Winkel von 60. Wenn wir a auf der ersten Skala und b auf der letzten Skala durch eine gerade Linie verbinden, können wir im Schnittpunkt mit der mittleren Skala das Ergebnis a # b ablesen:

Die obigen Formeln können wir jetzt kürzer so schreiben:

Kurze Einführung in die Gruppentheorie

Rechenoperationen wie Addition und Multiplikation bezeichnet man auch als Verknüpfungen: zwei Zahlen werden miteinander verknüpft, und das Ergebnis ist eine neue Zahl - die Summe bzw. das Produkt. Sie haben einige Gemeinsamkeiten: Es gilt z.B. das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. Es gibt ein Element, das nichts ändert: die 0 bei der Addition, die 1 bei der Multiplikation. Und jede Rechnung kann wieder rückgängig gemacht werden: +a durch +(-a), ·a durch ·1/a.

Diese Eigenschaften treten auch bei anderen Verknüpfungen auf. In der Algebra bezeichnet man so etwas als Gruppen und untersucht ihre Eigenschaften. So kann man Gemeinsamkeiten zwischen Strukturen feststellen, die auf den ersten Blick ganz verschieden aussehen.

Wir bezeichnen jetzt mit M irgendeine Menge und mit ◦ eine beliebige Verknüpfung. (M,◦) ist eine Gruppe, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Nach dieser Definition sind z.B. (Z,+), (Q,+) und (R,+) kommutative Gruppen, ebenso wie (Q\{0},·) und (R\{0},·). Bei der Multiplikation muss man 0 auschließen, weil es dazu kein inverses Element gibt (1/0 ist nicht definiert). Weitere Beispiele für Gruppen sind die Restklassenaddition, die Restklassenmultiplikation modulo einer Primzahl (siehe Mathe-Newsletter 2), aber auch die sogenannten Symmetriegruppen, das heißt die Drehungen und Spiegelungen, die eine symmetrische Figur (z.B. ein Quadrat oder einen Würfel) auf sich selbst abbilden.

Wir wollen jetzt untersuchen, ob wir mit der Kehrwertaddition eine Gruppe erhalten. Dafür nehmen wir zu den reellen Zahlen noch das Element ∞ dazu. Die Vereinigungsmenge von R und {∞} heißt erweiterte reelle Zahlen (oder Einpunktkompaktifizierung von R); wir bezeichnen sie mit R*. Wen die Vorstellung einer unendlich großen Zahl stört, der kann die Zahlengerade auf den Einheitskreis projizieren; dem Punkt ∞ entspricht dann der "Nordpol" des Kreises:

Jetzt können wir untersuchen, ob die Gruppeneigenschaften zutreffen.

Allerdings gibt es zu 0 kein inverses Element, denn wir haben oben gesehen, dass a # 0 immer 0 ergibt. Wir müssen daher die 0 ausschließen. Das ist aber kein Problem, denn wir haben auch gezeigt, dass a # b nie 0 wird, wenn a und b von 0 verschieden sind. Es ist also auch die Menge R*\{0} gegenüber der Kehrwertaddition abgeschlossen.

Damit haben wir bewiesen:

(R*\{0}, #) ist eine kommutative Gruppe.

Vielleicht findet ja jemand noch mehr Anwendungen für diese Rechenoperation!

Alles Gute bis zum nächsten Mal

Jutta


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