Verallgemeinerte Zahlensysteme und ihre Dynamik

Zusammenfassung:

Unter Beta-Entwicklungen versteht man verallgemeinerte Stellenwertsysteme bezügliche einer nicht notwendigerweise ganzzahligen Basis. Im vorliegenden Projekt interessieren wir uns vor allem für die induzierten Ziffernsequenzen. Diese bilden ein symbolisches dynamisches System über der (endlichen) Menge der Ziffern. Im klassischen Fall, unter Verwendung von nicht negativen Ziffern, sind diese sogenannten Beta-Shifts bereits in unzähligen Forschungsarbeiten behandelt worden. Es ist bekannt, dass im Falle eines sogenannten sofic Shifts eine Verbindung zu substitutiven dynamischen Systemen besteht.

Beta-Entwicklungen lassen sich auf ganz unterschiedliche Weise verallgemeinern, beispielsweise durch das Zulassen negativer Ziffern. Als Stichworte seien hier symmetrische Beta-Entwicklungen erwähnt. Dieses Thema erfreut sich einem immer größer werdenden Interesse. Allerdings ist bis jetzt noch kein Zusammenhang zwischen den induzierten verallgemeinerten Beta-Shifts mit substitutiven dynamischen Systemen bekannt. Als primäre Zielsetzung des vorliegenden Projekts soll nachgewiesen werden, dass es diese Verbindungen sehr wohl gibt. Wir wollen sie genau beschreiben und die Auswirkungen in verschiedene Richtungen erforschen.

Ein zweiter Punkt des Projekts betrifft Tent Maps. Unter einer Tent Map verstehen wir eine aus zwei linearen Teilen stetig zusammengesetzte Funktion, die das Einheitsintervall auf sich selbst abbildet. Hier zeigen neueste Forschungen erstaunliche Relationen mit verallgemeinerten Beta-Entwicklungen. Im Rahmen des Projekts sollen einerseits verschiedene Verallgemeinerungen betrachtet werden, zum Beispiel dreiteilige Tent Maps, andererseits möchten wir passende geometrische (fraktale) Darstellungen definieren und untersuchen.