Finite and periodic orbits of shift radix systems

Über den Artikel

Zusammenfassung

Für r=(r0,…,rd-1)∈d sei die Funktion

τr: d → d, z=(z0,…,zd-1)(z1,…,zd-1,−⌊rz⌋)

definiert, wobei rz das Skalarprodukt der Vektoren r und z darstellt. Falls jede Bahn von τr in 0 endet, nennen wir τr ein Schiebebasissystem. Es ist bekannt dass jede Bahn von τr periodisch endet falls das durch r induzierte Polynom td+rd-1td-1+^…+r0 eine Kontraktion ist. Falls dieses Polynom andererseits mindestens eine Nullstelle außerhalb des Einheitskreises besitzt gibt es Startvektoren deren Bahnen nicht beschränkt sind. Der vorliegenden Artikel befasst sich mit der Situation der Periodizität der Funktion τr in den verbleibenden Fällen in denen alle Nullstellen des durch den Vektor r induzierten Polynoms betragsmäßig kleiner oder gleich eins sind wobei mindestens einmal Gleichheit vorliegt. Wir zeigen dass für eine grosse Klasse von Vektoren r der oben genannten Form die Periodizität der Bahn τr äquivalint dazu ist, dass für einen bestimmten, von r abhängigen Parameter s, τs eine Schibebasissystem ist oder die Bahnen eine bestimmte andere Struktur besitzen. Diese Ergebnisse werden mit neuen Algorithmen kombiniert um Vektoren r der oben genannten Form zu beschreiben deren τr-Bahnen für alle Startwerte periodisch sind. Konkret geben wir eine Beschreibung solcher Vektoren r für den Fall d=3. Das führt zu Mengen die eine sehr komplexe Struktur zu haben scheinen.

Literaturangaben

1. S. Akiyama, T. Borbély, H. Brunotte, A. Pethő, J.M. Thuswaldner, Generalized radix representations and dynamical systems I, Acta Math. Hungar. 108 (2005), 207—238.
2. S. Akiyama, H. Brunotte, A. Pethő, W. Steiner, Remarks and conjecture on certain integer sequences, Period. Math Hungar. 52 (2006), 1—17.
3. S. Akiyama, H. Brunotte, A. Pethő, W. Steiner, Periodicity of certain piecewise affine planar maps, Tsukuba J. Math. 32 (2008), 197—251.
4. S. Akiyama, H. Brunotte, A. Pethő, J.M. Thuswaldner, Generalized radix representations and dynamical systems II, Acta Arith. 121 (2006), 21—61.
5. S. Akiyama, C. Frougny, J. Sakarovitch, Powers of rationals modulo 1 and rational base number systems, Israel J. Math. 168 (2008), 53—91.
6. D. W. Boyd, The beta expansion for Salem numbers, in Organic mathematics (Burnaby, BC, 1995), vol. 20 of CMS Conf. Proc., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 117—131.
7. H. Brunotte, On trinomial bases of radix representations of algebraic integers, Acta Sci. Math. Acta Sci. Math. (Szeged) 67 (2001), 521—527.
8. A. T. Fam, The volume of the coefficient space stability domain of monic polynomials, Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and Systems 2 (1989), 1780—1783.
9. A. T. Fam, J. S. Meditch, A canonical parameter space for linear systems design, IEEE Trans. Autom. Control 23 (1978), 454—458.
10. C. Frougny, B. Solomyak, Finite beta-expansions, Ergod. Th. and Dynam. Sys. 12 (1992), 713—723.
11. A. Huszti, K. Scheicher, P. Surer, J.M. Thuswaldner, Three-dimensional symmetric shift radix systems, Acta Arith., 129 (2007), 147—166.
12. P. Kirschenhofer, A. Pethő, and J.M. Thuswaldner, On a family of three term nonlinear integer recurrences, Int. J. Number Theory 4 (2008), 135—146.
13. E. Lehmer, On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1936), 389—392.
14. J. Lowenstein, S. Hatjispyros, F. Vivaldi, Quasi-periodicity, global stability and scaling in a model of Hamiltonian round-off, Chaos 7 (1997), 49—66.
15. A. Pethő, On a polynomial transformation and its application to the construction of a public key cryptosystem, in: Computational Number Theory, Debrecen, 1989, de Gruyter, Berlin, 1991, 31—43.
16. A. Pethő, On the boundary of the closure of the set of contractive polynomials, Integers 9 (2009), 311—325.
17. K. Schmidt, On periodic expansions of Pisot numbers and Salem numbers, Bull. London Math. Soc., 12 (1980), 269—278.
18. I. Schur, Über Potenzreihen, die im inneren des Einheitskreises beschränkt sind, J. reine angew. Math., 148 (1918), 122—145.
19. P. Surer, Characterisation results for shift radix systems, Math. Pannon., 18 (2007), 265—297.
20. P. Surer, ε-shift radix systems and radix representations with shifted digit sets, Publ. Math. (Debrecen) 74 (2009), 19—43.

Links

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
Fond zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (FWF)
National Forschungsnetzwerk (NFN) S9600
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)