Finite and periodic orbits of shift radix systems

Sobre o artigo

Resumo

Para r=(r0,…,rd-1)∈d define a aplicação

τr: d → d, z=(z0,…,zd-1)(z1,…,zd-1,−⌊rz⌋),

em que rz significa o produto escalar dos vetores r e z. Se todas as órbitas de τr termina em 0, nós chamamos τr um sistema de deslocamento de base. É bem conhecido que cada órbita de τr termine periodicamente se o polinômio td+rd-1td-1+^…+r0 associado a r for contrativo. Por outro lado, quando o polinômio tem pelo menos uma raiz fora do círculo unitário existem vetores inicias que causam órbitas ilimitadas. Este artigo trata a situação remanente da propriedade de periodicidade da aplicação τr para vetores r associados a polinômios cujas raizes têm módulo menos que ou igual que 1 e igualdade pelo menos uma vez. Nos mostramos que para uma grande classe de vetores r, do tipo acima mencionado, a periodicidade das órbitas de τr é equivalente ao fato que, para um vetor s relacionado a r, τs é um sistema de deslocamento de base ou possui uma estrutura orbitária prescrita. Estes resultados são combinados com novos resultados algorítmicos para descrever vetores r do tipo acima mencionado que causam órbitas periódicas de τr para todos vetores iniciais. Especialmente, elaboramos uma descrição desses vetores r para o caso d = 3. Isso leva a conjuntos, cuja estrutura parece muito complexo.

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