Übungen: Differentialrechnung

Ableitung und Tangente

  1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x² - 6x + 6.
    1. An welchen Stellen ist
      1. f(x) = 1
      2. f(x) = -2
      3. f(x) = 0 ?
      Wie groß ist die Steigung an diesen Stellen?
    2. An welchen Stellen ist
      1. f'(x) = 1
      2. f'(x) = -2
      3. f'(x) = 0 ?

  2. Wie groß ist der Anstieg der Kurve y = x³ - 5x² + 6x in ihren Schnittpunkten mit der x-Achse?

  3. In welchen Punkten und unter welchem Anstieg schneidet die Kurve y = 3x/2 - x³/6 die x-Achse?
    In welchen Punkten besitzt die Kurve eine zur x-Achse parallele Tangente?

  4. In welchen Punkten der Kurve y = x³/3 - 5x²/2 + 5x - 1 ist die Tangente
    1. unter 45°
    2. unter 135° zur x-Achse geneigt?
    (Den Neigungswinkel a einer Geraden erhält man aus der Beziehung k = tan a.)

  5. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x4/4 - 2x³ + 9x²/2.
    In welchen Punkten hat der Graph eine waagrechte Tangente?

  6. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 3x² - 6x
    In welchen Punkten des Graphen haben die Tangenten die Steigung k=3? Bestimme die Gleichungen der Tangenten.

  7. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 6x² + 10x - 4
    In welchen Punkten des Graphen sind die Tangenten parallel zur 1. Mediane? Bestimme die Gleichungen der Tangenten.

    8. Ergebnisse

Kurvendiskussionen

Hier findest du ein Musterbeispiel.

Untersuche und zeichne folgende Funktionen (Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Gleichung der Wendetangenten):

  1. f(x) = x² - x - 2

  2. f(x) = x³ - 6x² + 9x

  3. f(x) = -x4/4 + x³

  4. f(x) = x³/4 - 3x

  5. f(x) = x³/6 + x²

  6. f(x) = x³ - 3x² + 4

  7. f(x) = x³ + x/2 - 9

  8. f(x) = 2x³ - 6x² + 6x

  9. f(x) = 1/4 (x³ - 3x² - 9x + 27)

  10. f(x) = 1/3 (-x³ + 3x² + 9x + 5)

  11. f(x) = 1/10 (2x + 3)(x² - 6)

  12. f(x) = 1/2 (x4 - 6x² + 9)

  13. f(x) = x4/16 - 3x²/2 + 5

  14. f(x) = x4/8 - 3x³/2 + 6x² - 8x

  15. f(x) = 1/12 (3x4 - 22x³ + 36x²)

    16. Ergebnisse

Umkehraufgaben

Ermittle die Gleichungen der folgenden Funktionen:

  1. Eine Parabel geht durch die Punkte A(2/4) und B(-4/7); in A hat sie die Steigung 1.

  2. Der Graph einer Funktion 3. Grades hat den Hochpunkt H(0/5) und den Wendepunkt W(1/3).

  3. Der Graph einer Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse und hat in W(2/0) einen Wendepunkt. Der Anstieg der Wendetangente ist -8.

  4. Eine Polynomfunktion 3. Grades hat im Punkt (0/ 5/3) die Steigung k = 3 und im Punkt(-1/0) einen Extremwert.

  5. Der Graph einer Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Punkt (2/0) und hat bei (1/3) einen Wendepunkt.

  6. Der Graph einer Funktion 3. Grades geht durch den Koordinatenursprung. Der Wendepunkt hat die Koordinaten (2/5), und die Wendetangente hat die Steigung ½.

  7. Eine Funktion 4. Grades hat im Koordinatenursprung einen Wendepunkt mit der Steigung -2. Im Punkt (2/0) beträgt die Steigung 12.

  8. Der Graph einer Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Er hat bei (2/0) einen Tiefpunkt und geht durch den Punkt (1/ 9/4).

  9. Der Graph einer Funktion 5. Grades ist symmetrisch zum Koordinatenursprung. Im Punkt (1/3) hat er einen Wendepunkt, die Steigung der Wendetangente ist 17/3.

    10. Ergebnisse

Ermittle in den folgenden Beispielen die Gleichung von g(x) und skizziere beide Funktionen!

  1. Gegeben ist die Funktion f(x) = -x³/4 + 3x²/2.
    Die quadratische Funktion g hat dieselben Nullstellen wie f. Bei x = 0 beträgt ihre Steigung 9/2.

  2. Gegeben ist die Funktion f(x) = x³/8 - 3x²/4 + 4.
    Der Graph der quadratischen Funktion g berührt den Graphen von f in dessen Hochpunkt und schneidet ihn im Punkt P(8/yP).

  3. Gegeben ist die Funktion f(x) = x³/8 - 3x/2 + 2.
    Der Graph der quadratischen Funktion g(x) berührt den Graphen von f(x) in dessen Wendepunkt und schneidet ihn im Punkt P(6/yP).

  4. Der Graph der quadratischen Funktion g(x) berührt den Graphen der Funktion f(x) = -x4/16 + 3x²/2 in dessen Wendepunkten.

    5. Ergebnisse

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