Übungen: Ableitung von Polynomfunktionen

  1. Ermittle die Ableitungen der folgenden Funktionen:

    1. f(x) = 3x + 4
    2. f(x) = 12 - 2x
    3. f(x) = x4
    4. f(x) = x10
    5. f(x) = 3x5
    6. f(x) = 5x12
    7. f(x) = 0,5x4
    8. f(x) = x6/9
    9. f(x) = x² - 3x + 2
    10. f(x) = -4x² + 5x - 1
    11. f(x) = 3x³ + 4x² - 5x
    12. f(x) = x4 - 6x³+ 5x² + 3
    13. f(x) = 2x³ - 12x² + 7x - 8
    14. f(x) = x4/2 + 4x³ - 5x²
    15. f(x) = x³/6 - 3x²/4 + 5x/2 - 1/3
    16. f(x) = x10/5 + 2x6/9 - 5x²/2

  2. Berechne die Ableitung von f an der Stelle x = x0 und gib die Gleichung der Tangente an:

    1. f(x) = 3x²,     x0 = 1
    2. f(x) = -x³,     x0 = 2
    3. f(x) = 4x - x²,     x0 = 3
    4. f(x) = x³ - 9x,     x0 = -2
    5. f(x) = 7x³ + 9x² - 8,     x0 = -1
    6. f(x) = x4/9,     x0 = 3
    7. f(x) = x³ - 4x² + 4x - 1,     x0 = 2
    8. f(x) = 2x5 - 5x4 + 3x²,     x0 = 1

  3. Gegeben ist die Funktion f(x) = x² - 6x + 6.
    1. An welchen Stellen ist
      1. f(x) = 1
      2. f(x) = -2
      3. f(x) = 0 ?
      Wie groß ist die Steigung an diesen Stellen?
    2. An welchen Stellen ist
      1. f'(x) = 1
      2. f'(x) = -2
      3. f'(x) = 0 ?

  4. Wie groß ist der Anstieg der Kurve y = x³ - 5x² + 6x in ihren Schnittpunkten mit der x-Achse?

  5. In welchen Punkten und unter welchem Anstieg schneidet die Kurve y = 3x/2 - x³/6 die x-Achse?
    In welchen Punkten besitzt die Kurve eine zur x-Achse parallele Tangente?

  6. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x4/4 - 2x³ + 9x²/2.
    In welchen Punkten hat der Graph eine waagrechte Tangente?

  7. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 3x² - 6x
    In welchen Punkten des Graphen haben die Tangenten die Steigung k=3? Bestimme die Gleichungen der Tangenten.

  8. Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 6x² + 10x - 4
    In welchen Punkten des Graphen sind die Tangenten parallel zur 1. Mediane? Bestimme die Gleichungen der Tangenten.

  9. Beim Kugelstossen beschreibt die Kugel annähernd eine Parabel. Angenommen, diese Parabel kann durch die Funktion f(x) = 0,9x - 0,05x² beschrieben werden.
    1. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf?
    2. Wo befindet sich der höchste Punkt der Wurfbahn?

  10. Ein Seil überspannt einen 40 m breiten Graben bei einer Höhendifferenz von 12 m. Die Form des Seils entspricht näherungsweise der Kurve y = 0,01x² - 0,1x zwischen den Punkten A(0/0) und B(40/12).
    1. Welche Neigung hat das Seil in den Endpunkten?
    2. Wo liegt der tiefste Punkt der Kurve?
    3. In welchem Punkt der Kurve ist die Tangente parallel zur Geraden AB? Gib die Gleichung der Tangente an und berechne den Durchhang des Seils, d.h. den senkrechten Abstand zwischen der Tangente und der Geraden AB.

    11. Ergebnisse

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