Dreiecke und Vierecke

  1. Stelle (graphisch und rechnerisch) fest, ob es sich um ein besonderes Viereck handelt!
    1. A(-1/1), B(6/2), C(4/5), D(-3/4)
    2. A(0/-1), B(4/-3), C(6/1), D(2/3)
    3. A(-3/0), B(3/-3), C(2/2), D(-2/3)
    4. A(4/0), B(9/5), C(2/4), D(-3/-1)
    5. A(2/-3), B(5/-1), C(5/3), D(2/5)
    6. A(0/0), B(9/3), C(8/6), D(-1/3)

  2. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks und stelle fest, ob es sich um ein besonderes Dreieck handelt!
    1. A(-2/0), B(9/3), C(0/6)
    2. A(2/1), B(8/5), C(0/6)
    3. A(3/0), B(7/2), C(-3/4)
    4. A(-3/3), B(2/1), C(0/6)

  3. Die Seiten eines Dreiecks liegen auf den Geraden a, b und c. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte sowie Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks!
    1. a: y = -2x + 2, b: y = x - 4, c: y = x/4 + 2
    2. a: 4x + y = 12, b: 3x - y = 2, c: x + 2y = 3
    3. a: X = (8/2) + t·(2/3), b: X = (2/6) + u·(5/1), c: X = (0/3) + v·(3/-2)
    4. a: x + y = 8, b: y = 3x, c: X = (5/0) + t·(2/1)

  4. Berechne bei den folgenden Dreiecken die Koordinaten von Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt und Umkreismittelpunkt und ermittle die Gleichung der Euler'schen Geraden!
    1. A(-4/-1), B(12/-1), C(10/13)
    2. A(0/2), B(9/-1), C(8/6)
    3. A(-12/3), B(12/-3), C(0/9)
    4. A(-6/3), B(9/0), C(6/11)

  5. Berechne bei den folgenden Vierecken den Flächeninhalt sowie Schnittpunkt und Schnittwinkel der Diagonalen!
    1. A(3/-1), B(5/1), C(2/5), D(-1/1)
    2. A(0/-3), B(5/2), C(5/7), D(-3/6)
    3. A(-6/-1), B(2/4), C(0/8), D(-10/0)
    4. A(4/-6), B(14/4), C(9/9), D(2/8)

  6. Verbindet man bei einem Dreieck die Seitenmittelpunkte, so erhält man ein neues Dreieck. Die Seiten dieses Dreiecks sind zu den Seiten des ursprünglichen Dreiecks parallel und halb so lang. Überprüfe das am Dreieck ABC: A(-3/0), B(5/4), C(2/6)!

  7. Verbindet man bei einem Viereck die Seitenmittelpunkte, so erhält man ein Parallelogramm. Überprüfe das am Viereck ABCD: A(-5/-5), B(7/1), C(1/7), D(-5/5)!

  8. Berechne die Winkel, den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC [A(3/1), B(9/3), C(5/7)] und zeige die Gültigkeit der HERONschen Flächenformel:
    A = Ös(s-a)(s-b)(s-c), wobei s = (a+b+c)/2.

  9. Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-7/0), B(7/0), C(2/12)]. Berechne die Seitenlängen, den Flächeninhalt, die Koordinaten des Umkreismittelpunktes und den Umkreisradius R (z.B. den Abstand AU). Zeige die Gültigkeit der folgenden Formel:
    A = abc / 4R

  10. Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-6/0), B(9/-3), C(6/8)].
    1. Ermittle die Koordinaten des Umkreismittelpunktes!
    2. Zeige: Spiegelt man U an den drei Dreiecksseiten, so erhält man ein Dreieck DEF, das zum gegebenen Dreieck kongruent ist.
    3. (Zusatzaufgabe: U ist gleichzeitig der Höhenschnittpunkt des Dreiecks DEF.)

    Die folgenden beiden Aufgaben können erst gelöst werden, wenn die Kreisgleichung schon bekannt ist!

  11. Gegeben ist das Dreieck ABC [A(0/4), B(28/4), C(16/16)].
    1. Berechne die Koordinaten des Höhenschnittpunkts, des Umkreismittelpunkts und die Gleichung des Umkreises.
    2. Spiegle den Höhenschnittpunkt an den Seiten des Dreiecks und zeige, dass die gespiegelten Punkte H', H'' und H''' auf dem Umkreis des Dreiecks liegen!

  12. Gegeben ist das Dreieck ABC [A(0/0), B(8/4), C(0/12)].
    1. Berechne die Koordinaten des Umkreismittelpunktes und die Gleichung des Umkreises.
    2. In den Eckpunkten des Dreiecks werden an den Umkreis Tangenten gelegt, die ein neues Dreieck bilden. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte dieses Dreiecks als Schnittpunkte je zweier Tangenten.
    3. In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der beiden Dreiecke? (Gib das Verhältnis in möglichst einfachen ganzen Zahlen an.)

    (Diese Aufgabe gibt es auch als komplett durchgerechnetes Musterbeispiel.)

Ergebnisse

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