Gleichungen mit einer Unbekannten

Einen Ausdruck der Form

T1(x) = T2(x)

nennt man Gleichung mit der Unbekannten x. T1 und T2 sind dabei beliebige Terme. (Die Unbekannte kann natürlich auch anders benannt werden!)
Je nachdem, welche Zahl man für x einsetzt, erhält man eine wahre oder eine falsche Aussage.

Grundmenge: alle Zahlen, die zum Einsetzen in die Gleichung vorgesehen sind
Definitionsmenge: alle Elemente der Grundmenge, die für die Unbekannte eingesetzt werden dürfen
Lösungsmenge: alle Elemente der Definitionsmenge, die die Gleichung in eine wahre Aussage überführen

Beispiele:

3x + 1 = 10 G = N D = N L = {3}
x = 4 G = N D = N L = {2}
x = 4 G = R D = R L = {-2, 2}
1/x = 1/5 G = R D = R \ {0} L = {5}

Gleichungen, die dieselbe Lösungsmenge haben, heißen äquivalent.

Äquivalenzumformungen

Die Lösungsmenge einer Gleichung bleibt gleich, wenn man auf beiden Seiten

  • dieselbe Zahl (denselben Term) addiert bzw. subtrahiert,
  • mit derselben Zahl (demselben Term) ≠ 0 multipliziert,
  • durch dieselbe Zahl (denselben Term) ≠ 0 dividiert.

Wir werden immer versuchen, eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen auf die einfachste Form zu bringen.
Dabei können Sonderfälle auftreten, z.B.:

x = x
Diese Aussage ist für alle Zahlen wahr ⇒ L = D

x = x + 1
Diese Aussage ist für alle Zahlen falsch ⇒ L = { }

Genauere Erklärungen: mathe online, Gleichungen
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html
Abschnitte "Gleichung" - "Äquivalenzumformungen"

Lineare Gleichungen

Eine Gleichung der Form

ax + b = 0

mit a, b ∈ R, a ≠ 0
heißt lineare Gleichung (d.h., x kommt nur in der ersten Potenz vor).
Sie hat in R genau eine Lösung: L = {-b/a}

Beispiel:
(Wenn nicht anders angegeben, ist die Grundmenge immer R)

7x - 6

= 4x + 9 | - 4x

3x - 6

= 9 | + 6

3x

= 15 | :3

x

= 5 

L = {5}

Lernziele:

  • Ich weiß, was eine Gleichung ist.
  • Ich weiß, was die Lösung einer Gleichung ist.
  • Ich kann eine lineare Gleichung durch Äquivalenzumformungen lösen.

Genauere Erklärungen: mathe online, Gleichungen
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html
Abschnitte "Lineare Gleichungen", "Normalform der linearen Gleichung"

Übungen
Textbeispiele

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