Eine Gleichung der Form
ax² + bx + c = 0
mit a, b, c ∈ R, a ≠ 0
heißt quadratische Gleichung.
Wir betrachten zunächst die normierte quadratische Gleichung:
x² + px + q = 0
Sonderfälle:
p = 0:
x² - 4
= 0 | + 4 x²
= 4 x1,2
= ±2
Achtung! Eine solche Gleichung hat zwei Lösungen: L = {-2, 2}
x² + 1
= 0 | - 1 x²
= -1
Hier gibt es keine reelle Lösung: L = { }
q = 0:
x² - 3x
= 0 x (x - 3)
= 0
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor 0 ist:
x
= 0 oder x - 3
= 0 x1
= 0 x2
= 3
Auch hier gibt es also zwei Lösungen: L = {0, 3}
Allgemeiner Fall:
Diesen Fall können wir durch Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat lösen.
Beispiele:
x² - 6x + 5
= 0 | - 5 x² - 6x
= -5 | + 9 x² - 6x + 9
= 4 (x - 3)²
= 4 x - 3
= ±2 | + 3 x1 = 1, x2 = 5
x² + 10x + 25
= 0 (x + 5)²
= 0 x + 5
= 0 x1,2
= -5
x² + 4x + 7
= 0 | - 7 x² + 4x
= -7 | + 4 x² + 4x + 4
= -3 (x + 2)²
= -3 keine Lösung
Eine quadratische Gleichung kann also zwei, eine oder gar keine Lösung haben. Im zweiten Fall spricht man auch von einer Doppellösung.
Führen wir diese Berechnung allgemein durch, so erhalten wir die kleine Lösungsformel für quadratische Gleichungen (wichtig!):
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Den Ausdruck 
bezeichnet man als Diskriminante D
(von discriminare, unterscheiden).
Eine quadratische Gleichung hat
Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung löst man mit der großen Lösungsformel:
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Wenn wir die Lösungen einer quadratischen Gleichung kennen, können wir die Gleichung rekonstruieren.
Beispiel: x1 = 2, x2 = 3
Diese Zahlen erfüllen sicher die Gleichung
(x - 2)(x - 3) = 0
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir die Normalform:
x² - 5x + 6 = 0
Wir sehen also, dass p = -5 = -(2+3) und q = 6 = 2·3.
Allgemein:
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Die Bedeutung dieses Satzes besteht vor allem darin, dass man mit seiner Hilfe ein quadratisches Polynom in Linearfaktoren zerlegen kann, wenn die entsprechende Gleichung zwei reelle Lösungen (oder eine Doppellösung) hat.
Lernziele:
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Links:
mathe online, Gleichungen, Abschnitt "Quadratische Gleichungen":
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html#QuGl
Applets: Quadratische Gleichungen 1
(Beweis der kleinen Lösungsformel),
Quadratische Gleichungen 2 (Gegenüberstellung verschiedener
Lösungsmethoden)
Leitprogramm Quadratische Gleichungen: http://www.educeth.ch/lehrpersonen/mathematik/unterrichtsmaterialien_mat/arithmetik_algebra/quadr_gleich/index (ausführliches Programm zum Selbststudium, ETH Zürich)
