Logarithmen

Im Kapitel "Potenzen und Wurzeln" haben wir den Ausdruck a^x für alle rationalen x erklärt. Für reelle (irrationale) Zahlen x kann man a^x mit beliebiger Genauigkeit annähern.

Man kann daher den Vorgang des Potenzierens auch umkehren und z.B. fragen: 2 hoch welche Zahl ergibt 5? Die gesuchte Hochzahl nennt man Logarithmus von 5 zur Basis 2.

Definition des Logarithmus:

x = alog b ⇔ b = ax (a ∈ R+\{1}, b ∈ R+)

Beispiel: ²log 8 = 3, weil 2³ = 8

Spezielle Logarithmen:

(Zur Definition der Eulerschen Zahl e siehe z.B. folgendes mathe online-Applet.)

Da Logarithmen Hochzahlen sind, ergeben sich die Rechengesetze aus den Rechengesetzen für Potenzen:

Beispiele:

• log = 3 log a + log b - 2 log c
• log √5 = ¹/₂ log 5

(Die Basis des Logarithmus muss nicht angegeben werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten.)

Vor der Erfindung des Taschenrechners führte man komplizierte Berechnungen mithilfe von Logarithmentabellen durch (oder dem Rechenschieber, der auch auf Logarithmen beruht). Heute brauchen wir vor allem die 3. Rechenregel, um Exponentialgleichungen zu lösen (d.h. Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht).

Beispiele:

• 3^x = 5
  beide Seiten logarithmieren:
  x·log 3 = log 5
  = 1,465

• 2^3x-1 = 10^x
  (3x-1)·log 2 = x·log 10
  x·(3·log 2 - log 10) = log 2
  = -3,106

Im Allgemeinen ist es egal, ob man dabei dekadische oder natürliche Logarithmen verwendet. Wenn in der Gleichung e als Basis vorkommt, sollte man mit natürlichen Logarithmen rechnen. Dadurch vereinfacht sich die Rechnung, weil ln e = 1.

• e^0,1x = 25
  0,1x (·ln e) = ln 25
  x = = 32,189

Übungen

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