Beispiele: 7, 2x + 3, a³ - 3b² + 1, 
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Eine Variable (a, b, x ...) ist ein Platzhalter für eine Zahl.
Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.
Beispiele: 7, 2x + 3, a³ - 3b² + 1,
Definitionsmenge eines Terms: alle Zahlen, die für die Variable(n) eingesetzt werden dürfen. Dabei muss man darauf achten, dass z.B. der Nenner eines Bruchterms nicht 0 sein darf.
Ein Term, der Variablen enthält, nimmt einen bestimmten Wert an, wenn man für die Variablen Zahlen einsetzt (man nennt das: Belegen der Variablen).
Beispiel:
T(x) = 2x + 3 (sprich: T von x) D = {1, 2, 3, 4, 5}
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x |
T(x) |
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1 |
2·1 + 3 = 5 |
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2 |
2·2 + 3 = 7 |
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3 |
2·3 + 3 = 9 |
|
4 |
2·4 + 3 = 11 |
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5 |
2·5 + 3 = 13 |
Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie bei jeder Belegung denselben Wert annehmen.
Beispiel: 2x + 3x = 5x
Wir werden immer versuchen, einen Term in einen möglichst einfachen äquivalenten Term umzuformen.
Wichtige Begriffe:
Monom: eingliedriger Term, z.B. 2ab
Polynom: mehrgliedriger Term, z.B. x³ + 2x² - 4x - 1
Koeffizienten: Zahlen, mit denen die Variablen multipliziert werden (hier: 1, 2, -4)
Grad des Polynoms: höchste vorkommende Potenz
Zweigliedrige Terme nennt man auch Binom.
Außerdem gibt es noch Bruchterme, Wurzelterme u.v.m.
Man kann nur gleichartige Termglieder addieren bzw. subtrahieren (Basis und Hochzahl gleich)!
Beispiel:
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2a + 4b + 3a - 2b = |
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= 2a + 3a + 4b - 2b = |
(KG) |
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= (2 + 3)·a + (4 - 2)·b = |
(DG) |
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= 5a + 2b |
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x² - 3x + 4 + 5x + 2x² = |
|
|
= x² + 2x² - 3x + 5x + 4 = |
(KG) |
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= (1 + 2)·x² + (-3 + 5)·x + 4 = |
(DG) |
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= 3x² + 2x + 4 |
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Falsch wäre z.B.:
Auflösen von Klammern:
Steht vor der Klammer ein +, kann man die Klammer weglassen.
Steht vor der Klammer ein - , muss man beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen ändern.
a + 3b - 4cBeispiel: 3a + (2b - c) - (2a + 3c - b) = 3a + 2b - c - 2a - 3c + b =
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Hochzahlen addiert.
Beispiel:
4x2·5x3 = 4·5·(x·x)·(x·x·x) = 20x5
Das Produkt eines Monoms mit einem Polynom berechnet man nach dem Distributivgesetz.
4x - 6y
a·(c + d) = a·c + a·d
bzw.
a·(e - d) = a·e - a·d
Beispiele:
2·(2x - 3y) =
Produkt zweier Polynome:
Jedes Glied des ersten Terms wird mit jedem Glied des zweiten Terms multipliziert.
(a + b)·(c + d) = ac + bc + ad + bd
Beispiele:
(3a + 4)·(2a - 1) = 3a·2a + 4·2a + 3a·(-1) + 4·(-1) = 6a² + 8a - 3a - 4 =
Durch Ausmultiplizieren erhält man die binomischen Formeln (wichtig!):
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)·(a - b) = a² - b²
Beispiel: (2x + 3)² = (2x)² + 2·2x·3 + 3² =
4x² + 12x + 9
Für höhere Potenzen findet man die Koeffizienten mithilfe des
Pascal'schen Dreiecks.Herausheben gemeinsamer Faktoren:
Umkehrung des Distributivgesetzes
z.B.: 2a + 4b - 6c =
Zerlegen mithilfe der binomischen Formeln:
z.B.: 9x² + 6x + 1 =
Terme dividieren:
Vergleiche dazu Division von Zahlen:
Wir schreiben jetzt alle Zwischenschritte an, auch die, die wir normalerweise im Kopf durchführen:
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276 |
: 12 = 23 |
12 in 27 = 2mal |
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- 24 |
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2·12 = 24 (abziehen) |
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36 |
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12 in 36 = 3mal |
|
- 36 |
|
3·12 = 36 (abziehen) |
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0 |
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Analog rechnet man mit Polynomen:
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(x² + 5x + 6) |
: (x + 2) = x + 3 |
x² : x = x |
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- x² +-2x |
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x·(x + 2) = x² + 2x (abziehen) |
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3x + 6 |
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3x : x = 3 |
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- 3x +-6 |
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3·(x + 2) = 3x + 6 (abziehen) |
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0 |
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Probe durch Ausmultiplizieren!
(Ausführlichere Erklärung unter http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/sfs0001.htm)
Anmerkung: Später werden wir mit dem Horner-Schema eine einfachere Methode kennenlernen, durch ein Polynom zu dividieren.
Lernziele:
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