Übungen: Vektorrechnung

Anmerkung: Der Einfachheit halber habe ich alle Vektoren als Zeilenvektoren geschrieben, Vektorbezeichnungen sind fett.

  1. Gegeben sind die Punkte P(1/1), Q(5/3), R(2/3) und S(1/6).
    Zeichne die Vektoren a = PQ, b = RS und konstruiere folgende Vektoren:
    a + b, a - b, b - a, 2a, -3b, ½a + 2b

  2. A, B, C und D sind die Eckpunkte eines Quadrats, E ist der Halbierungspunkt der Seite AB und M der Mittelpunkt des Quadrats.
    Stelle die folgenden Vektoren als Linearkombination der Vektoren v = AB und w = AD dar:
    AC, BD, EM, EC, DE, MA

  3. A, B, C, D, E und F sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks, M ist sein Mittelpunkt.
    Stelle die folgenden Vektoren als Linearkombination der Vektoren x = AB und y = AF dar:
    AM, AC, AD, EM, EC, EA

  4. Ermittle die Koordinatendarstellung des Pfeiles AB!
    1. A(3/1), B(6/5)
    2. A(2/4), B(7/2)
    3. A(4/-2), B(1/3)
    4. A(2/2/1), B(6/7/5)
    5. A(-1/5/5), B(3/4/7)
    6. A(2/4/-3), B(-2/5/1)

  5. Der Anfangspunkt und die Koordinaten eines Pfeiles sind gegeben. Ermittle die Koordinaten des Endpunktes!
    1. A(1/2), AB = (3/4)
    2. A(3/5), AB = (4/-2)
    3. A(4/-1), AB = (-3/5)
    4. A(1/3/0), AB = (2/4/7)
    5. A(3/-2/1), AB = (2/3/-4)
    6. A(0/5/-2), AB = (-3/2/5)

  6. Die angegebenen 3 Pfeile AB, CD und EF sollen Repräsentanten desselben Vektors sein. Ein Pfeil ist falsch. Stelle fest, um welchen Pfeil es sich handelt!
    1. A(1/-3), B(5/-1), C(2/2), D(-2/0), E(-1/0), F(3/2)
    2. A(2/1), B(4/-2), C(1/2), D(7/-1), E(-5/3), F(1/0)
    3. A(3/-2), B(-3/3), C(7/1), D(1/6), E(-2/-3), F(8/2)

  7. Löse Beispiel 1 rechnerisch!

  8. Ermittle die Koordinaten des fehlenden Eckpunktes und den Umfang des Parallelogramms ABCD!
    1. A(1/-3), B(5/1), C(1/3)
    2. B(2/-3), C(-10/2), D(-7/6)
    3. C(-1/-5), D(7/1), A(3/4)
    4. A(-1/0/2), B(3/4/4), D(-3/2/3)
    5. A(2/1/3), B(6/1/6), C(12/-1/9)

  9. Überprüfe, ob die Vektoren AB und CD parallel sind!
    1. A(-2/3), B(0/6), C(4/-1), D(8/5)
    2. A(6/6), B(7/1), C(3/4), D(5/-4)
    3. A(4/-2/3), B(1/-1/5), C(-5/6/7), D(4/3/1)
    4. A(2/-1/6), B(4/3/1), C(2/-3/10), D(10/9/-10)

  10. Zeige, dass ABCD ein Trapez ist, und berechne den Umfang!
    A(-2/3), B(4/0), C(3/4), D(-1/6)

  11. Von einem Quadrat sind zwei Eckpunkte gegeben. Berechne die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte und den Umfang! (Positiver Umlaufsinn)
    1. A(2/0), B(5/1)
    2. A(0/2), B(4/1)
    3. A(-2/3), B(-4/-2)

  12. Welchen Winkel schließen die Vektoren a und b miteinander ein?
    1. a = (3/1), b = (2/4)
    2. a = (-2/5), b = (3/3)
    3. a = (1/-7)), b = (4/3)
    4. a = (1/2/4), b = (3/-5/0)
    5. a = (2/1/-3), b = (6/-4/-2)
    6. a = (10/5/-10), b = (3/-2/2)

  13. Berechne die Innenwinkel und den Umfang des Dreiecks ABC!
    1. A(2/3), B(7/6), C(0/9)
    2. A(3/3/-1), B(-2/5/-2). C(-7/4/-9)

  14. Zeichne die angegebene Gerade und mache die Geradengleichung parameterfrei:
    1. g: X = (1/1) + t(3/1)
    2. g: X = (2/5) + t(2/-3)
    3. g: X = (4/-2) +t(-3/5)

  15. Stelle die Parameterform der Gerade durch P und Q auf. (Wähle einen Richtungsvektor mit möglichst kleinen, ganzzahligen Koordinaten!)
    Welche Punkte erhält man für t = 2, 3, -1?
    1. P(1/3), Q(3/2)
    2. P(-3/2), Q(3/6)
    3. P(1/4), Q(3/0)
    4. P(0/0/2), Q(3/4/5)
    5. P(3/5/-3), Q(6/3/1)
    6. P(-2/7/5), Q(4/4/5)

  16. Stelle die Gleichungen der Geraden g [A, B] und h [C, D] auf. Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h und berechne, wenn möglich, den Schnittpunkt und Schnittwinkel.
    1. A(-1/3), B(3/4), C(-2/4), D(2/0)
    2. A(-3/1), B(-1/5), C(2/-1), D(-3/4)
    3. A(3/2), B(5/3), C(-4/0), D(2/3)
    4. A(-5/10), B(-2/-2), C(-4/6), D(5/-3)
    5. A(2/-1), B(-13/9), C(2/0), D(-5/7)
    6. A(0/5), B(-2/6), C(2/4), D(6/2)

  17. Wie lautet die Gleichung der Gerade, die auf den Vektor n bzw. AB normal steht und durch den Punkt P geht?
    1. n = (3/2), P(2/1)
    2. n = (7/-4), P(3/5)
    3. A(5/-2), B(2/2), P(-2/1)
    4. A(-2/3), B(3/4), P(2/-10)

  18. Die Symmetrale einer Strecke geht durch den Mittelpunkt der Strecke und steht auf sie normal. Ermittle die Gleichung der Streckensymmetrale von AB.
    1. A(2/5), B(6/1)
    2. A(-2/2), B(4/4)
    3. A(-3/5), B(7/5)
    4. A(0/-2), B(2/3)

  19. Der Punkt P wird an der Geraden g [A, B] gespiegelt. Ermittle die Gleichung von g und die Koordinaten des gespiegelten Punktes P'. Berechne auch den Normalabstand von P zur Geraden.
    1. A(4/0), B(4/5), P(1/3)
    2. A(-2/-1), B(1/5), P(-2/4)
    3. A(0/-1), B(6/1), P(3/5)
    4. A(2/4), B(5/0), P(0/0)

  20. Drei Punkte A, B und C liegen in einer Ebene ε. Ermittle die Gleichung von ε in Normalform!
    1. A(1/1/3), B(4/1/-3), C(2/2/-2)
    2. A(2/1/3), B(-1/2/4), C(4/1/4)
    3. A(-2/0/3), B(2/-2/-1), C(4/1/1)
    4. A(4/0/1), B(2/1,5/3), C(0/3/4)

  21. Berechne, wenn möglich, die Koordinaten des Schnittpunkts der Gerade g und der Ebene ε!
    1. g: X = (1/3/-1) + t(8/4/1), ε: x + 6y - 18z = 65
    2. g: X = (2/0/-5) + t((6/2/3), ε: 3x + 12y - 4z = -4
    3. g: X = t(14/2/-5), ε: 6x - 7y + 6z = 40
    4. g: X = (2/0/7) + t(3/2/-2), ε: y + z = 9

  22. Die Punkte A1, B1 und C1 liegen auf der x-Achse: A1(0/0), B1(6/0), C1(12/0). Die Punkte A2, B2 und C2 liegen auf der Geraden g: X = (-6/0) + t·(2/1), und zwar entsprechen sie den Parameterwerten t1 = 3 (A2), t2 = 6 (B2) und t3 = 8 (C2).

    1. Ermittle die Koordinaten der Punkte A2, B2 und C2!
    2. Es sei D der Schnittpunkt von A1B2 und A2B1, E der Schnittpunkt von B1C2 und B2C1 und F der Schnittpunkt von A1C2 und A2C1. Zeige: D, E und F liegen auf einer Geraden. (Satz von PAPPOS)

  23. (*) Wie im vorigen Beispiel, wobei die Punkte A1 - C2 auf einer Ellipse liegen (Satz von PASCAL):
    ell: x² + 4y² = 100
    A1(-6/-4), B1(8/-3), C1(10/0), A2(-8/y>0), B2(6/y>0), C2(x>0/3)

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