Anmerkung: Der Einfachheit halber habe ich alle Vektoren als Zeilenvektoren geschrieben.
Einige Beispiele zu dem Thema gibt es auch unter "Übungen: Vektorrechnung".
Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h und berechne, wenn möglich, den Schnittpunkt und Schnittwinkel.
- g: X = (2/4/5) + s·(3/1/2), h: X = (6/10/12) + t·(-2/4/3)
- g: X = (3/-2/0) + s·(2/1/-1), h: X = (9/1/-3) + t·(4/2/-2)
- g: X = (-2/1/4) + s·(-4/-2/3), h: X = (6/5/-2) + t·(-2/3/2)
- g[A(3/5/7), B(8/5/2)], h[C(1/-1/4), D(3/2/1)]
- g[A(6/1/9), B(8/0/4)], h[C(3/2/7), D(5/1/2)]
- g[A(-4/-7/3), B(-2/-5/4)], h[C(0/0/8), D(4/-2/4)]
Berechne den Schnittpunkt und Schnittwinkel der Gerade g mit der Ebene ε.
- g: X = (3/7/-7) + t·(-2/-3/6), ε: 2x - 3y + z = 0
- g: X = (8/-1/-4) + t·(0/2/-3), ε: 5x + 3y - 11z = 3
- g[A(6/5/-4), B(0/2/5)], ε: 2x + y = 12
- g: X = (1/1/-5) + t·(-1/1/3), ε[A(4/4/3), B(-3/5/7), C(6/2/1)]
Ermittle eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen ε1 und ε2.
Welchen Winkel schließen die Ebenen miteinander ein?
- ε1: 3x - y - 2z = 8, ε2: 2x + 4y - z = 10
- ε1: 5x + 3z = 1, ε2: x - 2y + 4z = 7
- ε1: 2x + y + z = 2, ε2[A(0/1/1), B(2/4/1), C(-2/3/-1)]
- ε1: X = s·(2/2/1) + t·(7/4/3),
ε2: X = u·(2/2/1) + v·(-4/3/-2)
Ermittle die Gleichung der Ebene durch den Punkt P, die auf die Gerade g normal steht,
den Schnittpunkt dieser Ebene mit g und den Abstand des Punktes P von der Geraden g.
- P(4/5/10), g: X = (1/1/-2) + t·(4/0/-1)
- P(1/3/7), g: X = (-1/9/-1) + t·(3/-2/2)
- P(2/5/3), g: X = (8/0/-4)) + t·(2/2/5)
- P(-1/2/-3), g[(A(-2/0/7), B(0/4/5)]
Ermittle die Gleichung der Geraden durch den Punkt P, die auf die Ebene ε normal steht,
den Schnittpunkt dieser Geraden mit ε und den Abstand des Punktes P von der Ebene.
- P(9/5/2), ε: 4x + 3y = 1
- P(4/7/1), ε: 2x + y - 2z = 4
- P(0/4/3), ε[A(0/0/5), B(1/-1/0), C(3/1/2)]
- P(7/2/1), ε: X = (-1/0/0) + u·(2/2/1) + v·(1/3/-1)
Eine dreiseitige Pyramide hat die Spitze S(0/0/9). Die Grundfläche liegt in der Ebene
ε: 3x + 2y + 9z = 9. Die Trägergeraden der Seitenkanten haben die Gleichungen
e: X = (0/0/9) + t·(1/0/-3)
f: X = (0/0/9) + u·(-1/1,5/-4)
g: X = (0/0/9) + v·(1/3/7).
- Ermittle die Koordinaten der Eckpunkte A, B und C.
- Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.
Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundfläche ABCD[A(0/0/3), B(4/4/5), C, D(4/-2/-1)].
Die Spitze S liegt in der Ebene ε: z = 8.
- Ermittle die Koordinaten von C und S und zeige, dass ABCD ein Quadrat ist.
- Berechne den Winkel zwischen zwei beliebigen benachbarten Seitenkanten.
- Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.
Ein gerades dreiseitiges Prisma hat die Grundfläche ABC [A(0/0/0), B(12/8/24),
C(-18/9/6)] und die Höhe h = 7.
- Zeige, dass ABC ein rechtwinkeliges Dreieck ist!
- Berechne die Koordinaten der Eckpunkte der Deckfläche DEF (zD > 0).
- Berechne Volumen und Oberfläche des Prismas.
S(-2/-5/7) ist die Spitze einer geraden quadratischen Pyramide. Die Grundfläche
liegt in der Ebene ε: 2x + 2y - z = 6, der Eckpunkt A liegt auf der x-Achse.
- Ermittle die Koordinaten des Mittelpunkts der Grundfläche und der Eckpunkte.
- Welchen Winkel schließt die Grundfläche mit einer beliebigen Seitenfläche ein?
- Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide.
Das Dreieck ABC [A(3/7/0), B(4/0/0), C(0/y/z>0)] ist die Grundfläche eines geraden
Prismas mit der Höhe h = √3.
- Bestimme die Koordinaten von C so, dass ABC ein gleichseitiges Dreieck ist.
- Ermittle die Koordinaten der übrigen Eckpunkte (2 Lösungen).
- Berechne Volumen und Oberfläche des Prismas.