Begriffe aus der Physik:
Ein Vektor ist eine gerichtete Größe (Kraft, Geschwindigkeit ... ).
Er kann durch einen Pfeil dargestellt werden (Repräsentant des Vektors).
Die Länge des Pfeils bezeichnet man als Betrag des Vektors.
Alle gleichlangen, parallelen und gleichgerichteten Pfeile gehören zum selben Vektor.
Ein Skalar ist eine ungerichtete Größe (eine Zahl).
(Bemerkung: Ich werde Vektoren im Folgenden mit darübergestelltem Pfeil oder fett schreiben.)
Der zu a entgegengesetzte Vektor -a heißt Gegenvektor von a.
Zwei Vektoren werden addiert, indem man ihre Repräsentanten "aneinanderhängt".
Aus dem dargestellten Parallelogramm ergibt sich:
a + b = b + a
Die Summe aus einem Vektor und seinem Gegenvektor ist der Nullvektor.
Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man
Ein Vektor wird mit einem Skalar k multiplizert, indem man ihn um den Faktor k
streckt bzw. staucht.
Der Vektor k·a ist parallel zu a und
Einen Vektor der Form k·a + m·b bezeichnet man als Linearkombination der Vektoren a und b.
Seien ex, ey zwei Einheitsvektoren (Vektoren mit der Länge 1) in Richtung der Koordinatenachsen. Dann kann man jeden Vektor der Ebene als Linearkombination von ex und ey darstellen.
Betrachten wir z.B. den Vektor vom Koordinatenursprung zum Punkt P(4/3) (den sogenannten Ortsvektor von P), so können wir schreiben:
OP = 4·ex + 3·ey
oder einfacher
OP =
Allgemein: a = ax·ex + ay·ey
= 
Sind Anfangs- und Endpunkt des Vektors bekannt, so gilt:
Vektor = Endpunkt - Anfangspunkt
Beispiel: A(2/1), B(3/6):
AB =
(Da alle Repräsentanten des Vektors dieselbe Koordinatendarstellung haben, kann man von den Koordinaten des Vektors sprechen.)
Soll ein Vektor von einem gegebenen Anfangspunkt aus aufgetragen werden, so gilt:
Anfangspunkt + Vektor = Endpunkt
Beispiel: Trage den Vektor a =
, der Endpunkt hat daher die Koordinaten D(2/6).
Im Raum gibt es 3 Koordinatenachsen. Wir können daher jeden Vektor als Linearkombination
von 3 Einheitsvektoren ex, ey und ez darstellen, z.B.:
4·ex + 3·ey - 2·ez =
(Zur Veranschaulichung siehe das mathe online-Applet "3-Vektoren kennenlernen": http://www.mathe-online.at/galerie/vect1/vect1.html#vkenn.)
Anmerkung: Man kann Vektoren auch von Anfang an als geordnete Zahlenpaare bzw. Zahlentripel definieren. Diese Definition kann man auf geordnete n-Tupel erweitern; man erhält dann Vektoren im (nicht mehr anschaulich vorstellbaren) n-dimensionalen Raum.