Vektoren

Rechnen mit Vektoren in Koordinatendarstellung

Die Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation mit einer Zahl erfolgen koordinatenweise:

Beispiel:
a = , b =
a + b =
a - b =
3·a =

Den Betrag eines Vektors berechnet man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

Beispiel:
Von einem Parallelogramm kennt man die Eckpunkte A(1/0), B(5/2) und D(-2/3). Berechne den fehlenden Eckpunkt und den Umfang!
Wir berechnen die Seitenvektoren: AB = , AD =
AB = DC, wir müssen also den Vektor AB von D aus auftragen:
, C hat also die Koordinaten C(2/5).
(Wir hätten auch AD von B aus auftragen können.)
Die Seitenlängen sind a = = 4,47 und b = = 4,24.
Der Umfang beträgt u = 2(a+b) = 17,43.

Zwei Vektoren sind parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist.

Beispiel: u = , v =
v = -3·u ⇒ u // v

Im Raum rechnet man analog mit 3 Koordinaten.

Zu einem gegebenen Vektor in der Ebene findet man einen Normalvektor, indem man die Koordinaten vertauscht und bei einer Koordinate das Vorzeichen ändert:

n_L erhält man, wenn man a um 90° nach links dreht, n_R bei Drehung von a um 90° nach rechts. (Im Raum gibt es zu einem gegebenen Vektor unendlich viele Normalvektoren, daher geben wir dafür keine Formel an.)

Beispiel: a = ⇒ n_L = , n_R =

Den Mittelpunkt einer Strecke AB erhält man, indem man z.B. von A aus die Hälfte des Vektors AB aufträgt:
M_AB = A + ½AB = A + ½(B - A) = ½A + ½B
Wir erhalten daher die leicht zu merkende Formel:

MAB = ½(A + B)

(Jetzt kannst du den Abschnitt "Parameterform der Geradengleichung" durchnehmen.)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Es ist auch möglich, eine Art Vektormultiplikation zu definieren - allerdings ist das Produkt ein Skalar (eine Zahl).
Wir bezeichnen mit b_a die Normalprojektion des Vektors b auf den Vektor a. Dann definiert man das Skalarprodukt a·b folgendermaßen:

a·b = |a|·|b_a|, wenn a und b_a die gleiche Richtung haben
a·b = -|a|·|b_a|, wenn a und b_a entgegengesetzte Richtungen haben.

Anders ausgedrückt: Schließen die Vektoren a und b den Winkel a ein, so ist
a·b = |a|·|b|·cos α     (*)

Sind a und b parallel, so ist a·b = |a|·|b|. (Sonderfall: a·a = |a|².)
Stehen a und b normal aufeinander, so ist a·b = 0.

Im Speziellen gilt für die Basisvektoren e_x und e_y:
e_x·e_x = e_y·e_y = 1, e_x·e_y = 0.

Man kann zeigen:
Es gilt das Kommutativgesetz: a·b = b·a,
das Assoziativgesetz: (k·a)·b = k·(a·b)
und das Distributivgesetz: a·(b + c) = a·b + a·c

Damit können wir das Skalarprodukt zweier Vektoren, die in Koordinatendarstellung gegeben sind, folgendermaßen berechnen:
= (a_x·e_x + a_y·e_y)·(b_x·e_x + b_y·e_y) = a_xb_x·e_x·e_x + a_yb_x·e_y·e_x + a_xb_y·e_x·e_y + a_yb_y·e_y·e_y = a_xb_x + a_yb_y

Aus der Gleichung (*) können wir jetzt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen:

Im Raum rechnet man analog mit 3 Koordinaten.

Lernziele: Ich kann einen Vektor zeichnen, dessen Koordinaten gegeben sind. Ich kann aus Anfangs- und Endpunkt die Koordinaten eines Vektors ermitteln. Ich kann Vektoren graphisch und rechnerisch addieren bzw. subtrahieren. Ich kann Vektoren graphisch und rechnerisch mit einem Skalar multiplizeren. Ich kann zu einem gegebenen Vektor einen Normalvektor ermitteln. Ich kann den Halbierungspunkt einer Strecke berechnen. Ich kann das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen. Ich kann feststellen, ob zwei Vektoren parallel sind. Ich kann feststellen, ob zwei Vektoren normal aufeinander stehen. Ich kann den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.

Übungen

Zu diesem Thema gibt es einige Tests auf mathe online:
Vektoren erkennen (http://www.mathe-online.at/tests/vect1/erkennen.html)
Vektoraddition (http://www.mathe-online.at/tests/vect1/va.html)
Vektorsubtraktion (http://www.mathe-online.at/tests/vect1/differenz.html)
Skalarprodukt (http://www.mathe-online.at/tests/vect2/skalarprodukt.html)

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