Vektoren

Rechnen mit Vektoren in Koordinatendarstellung

Die Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation mit einer Zahl erfolgen koordinatenweise:

a+/-b = (a_x+/-b_x, a_y+/-b_y) -a = (-a_x, -a_y) k*a = (k*a_x, k*a_y)

Vektoraddition, -subtraktion und -multiplikation im Koordinatensystem

Beispiel:
a = (4,3), b = (1,5)
a + b = (4+1,3+5) = (5,8)
a - b = (4-1,3-5) = (3,-2)
a = (3*4,3*3) = (12,9)


Betrag eines Vektors im Koordinatensystem Den Betrag eines Vektors berechnet man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

|a| = Wurzel(a_x^2+a_y^2)

Beispiel:
Von einem Parallelogramm kennt man die Eckpunkte A(1/0), B(5/2) und D(-2/3). Berechne den fehlenden Eckpunkt und den Umfang!
Wir berechnen die Seitenvektoren: AB = (4,2) , AD = (-3,3)
AB = DC, wir müssen also den Vektor AB von D aus auftragen:
(-2,3) + (4,2) = (2,5) , C hat also die Koordinaten C(2/5).
(Wir hätten auch AD von B aus auftragen können.)
Die Seitenlängen sind a = Wurzel(4^2+2^2) = 4,47 und b = Wurzel((-3)^2+3^2) = 4,24.
Der Umfang beträgt u = 2(a+b) = 17,43.

Zwei Vektoren sind parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist.

Beispiel: u = (2,-1) , v = (-6,3)
v = -3·uu // v

Im Raum rechnet man analog mit 3 Koordinaten.

Zu einem gegebenen Vektor in der Ebene findet man einen Normalvektor, indem man die Koordinaten vertauscht und bei einer Koordinate das Vorzeichen ändert:

n_L = (-a_y, a_x); n_R = (a_y, -a_x)

nL erhält man, wenn man a um 90 nach links dreht, nR bei Drehung von a um 90 nach rechts. (Im Raum gibt es zu einem gegebenen Vektor unendlich viele Normalvektoren, daher geben wir dafür keine Formel an.)

Normalvektoren

Beispiel: a = (4,3)nL = (-3,4), nR = (3,-4)


Den Mittelpunkt einer Strecke AB erhält man, indem man z.B. von A aus die Hälfte des Vektors AB aufträgt:
MAB = A + ½AB = A + ½(B - A) = ½A + ½B
Wir erhalten daher die leicht zu merkende Formel:

MAB = ½(A + B)

(Jetzt kannst du den Abschnitt "Parameterform der Geradengleichung" durchnehmen.)

 

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Es ist auch möglich, eine Art Vektormultiplikation zu definieren - allerdings ist das Produkt ein Skalar (eine Zahl).
Wir bezeichnen mit ba die Normalprojektion des Vektors b auf den Vektor a. Dann definiert man das Skalarprodukt a·b folgendermaßen:

Normalprojektion von b auf a

a·b = |a|·|ba|, wenn a und ba die gleiche Richtung haben
a·b = -|a|·|ba|, wenn a und ba entgegengesetzte Richtungen haben.

Anders ausgedrückt: Schließen die Vektoren a und b den Winkel a ein, so ist
a·b = |a|·|b|·cos α     (*)

Sind a und b parallel, so ist a·b = |a|·|b|. (Sonderfall: a·a = |a|.)
Stehen a und b normal aufeinander, so ist a·b = 0.

Im Speziellen gilt für die Basisvektoren ex und ey:
ex·ex = ey·ey = 1, ex·ey = 0.

Man kann zeigen:
Es gilt das Kommutativgesetz: a·b = b·a,
das Assoziativgesetz: (k·a)·b = k·(a·b)
und das Distributivgesetz: (b + c) = a·b + a·c

Damit können wir das Skalarprodukt zweier Vektoren, die in Koordinatendarstellung gegeben sind, folgendermaßen berechnen:
(a_x, a_y)*(b_x, b_y) = (ax·ex + ay·ey)·(bx·ex + by·ey) = axbx·ex·ex + aybx·ey·ex + axby·ex·ey + ayby·ey·ey = axbx + ayby

(a_x, a_y)*(b_x, b_y) = a_x*b_x + a_y*b_y

Aus der Gleichung (*) können wir jetzt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen:

cos(alpha) = a*b/(|a|*|b|)

Im Raum rechnet man analog mit 3 Koordinaten.

Lernziele:

  • Ich kann einen Vektor zeichnen, dessen Koordinaten gegeben sind.
  • Ich kann aus Anfangs- und Endpunkt die Koordinaten eines Vektors ermitteln.
  • Ich kann Vektoren graphisch und rechnerisch addieren bzw. subtrahieren.
  • Ich kann Vektoren graphisch und rechnerisch mit einem Skalar multiplizeren.
  • Ich kann zu einem gegebenen Vektor einen Normalvektor ermitteln.
  • Ich kann den Halbierungspunkt einer Strecke berechnen.
  • Ich kann das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen.
  • Ich kann feststellen, ob zwei Vektoren parallel sind.
  • Ich kann feststellen, ob zwei Vektoren normal aufeinander stehen.
  • Ich kann den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.

Übungen

Zu diesem Thema gibt es einige Tests auf mathe online:
Vektoren erkennen (http://www.mathe-online.at/tests/vect1/erkennen.html)
Vektoraddition (http://www.mathe-online.at/tests/vect1/va.html)
Vektorsubtraktion (http://www.mathe-online.at/tests/vect1/differenz.html)
Skalarprodukt (http://www.mathe-online.at/tests/vect2/skalarprodukt.html)

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