Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, bezeichnen wir mit P(A).

Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace:

P(A) = Anzahl der für A günstigen Fälle
Anzahl der möglichen Fälle

Beispiel: Bei einmaligem Würfeln mit einem fairen Würfel ist P(6) = 1/6.

Rechenregeln:

0 ≤ P(A) ≤ 1 (das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0,
das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1)
P(A oder B) = P(A) + P(B),
wenn A und B einander ausschließen		 z.B.: P(5 oder 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6
P(A') = 1 - P(A)
(Gegenereignis: A' = "nicht A") 		z.B.: P(nicht 6) = 1 - 1/6 = 5(6)
P(A und B) = P(A)·P(B),
wenn A und B voneinander unabhängig sind 		z.B.: bei 2maligem Würfeln ist
P(2mal 6)= 1/6·1/6 = 1/36

Beispiele:

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2maligem Würfeln mindestens 1mal "6" zu werfen?
    Wir können die günstigen und möglichen Fälle abzählen (kompliziert) oder so überlegen:
    Die Wahrscheinlichkeit für "0mal 6" beträgt 5/6·5/6 = 25/36.
    "Mindestens 1mal 6" ist das Gegenereignis dazu, also
    P(mind. 1mal 6) = 1 - P(0mal 6) = 1 - 25/36 = 11/36.

  2. Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 1mal 6 zu werfen?
    Analog zum vorigen Beispiel erhält man bei n-maligem Würfeln
    P(mind. 1mal 6) = 1 - (5/6)n
    Das soll 90% = 0,9 sein:
    1 - (5/6)n = 0,9
    Durch Umformen und Logarithmieren erhalten wir
    = 12,6
    d.h. man muss 13mal würfeln.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B|A) (B unter der Bedingung A) versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn man bereits weiß, dass das Ereignis A eingetreten ist. Es gilt:

P(B|A) = P(A und B)/P(A)

(Das ist nur eine Abwandlung der Regel "günstige durch mögliche Fälle". Die möglichen Fälle sind jetzt nur mehr die, die zum Ereignis A gehören.)

Beispiele:

  1. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln unter der Bedingung, dass das Ergebnis gerade ist, beträgt (1/6)/(1/2) = 1/3.

  2. Ein Spieler hat schon viermal hintereinander eine 6 gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim fünften Wurf wieder eine 6 kommt?
    P(5 mal 6|4 mal 6) = (1/6)^5/(1/6)^4 = 1/6, das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist von den vorigen Würfen unabhängig. "Der Würfel hat kein Gedächtnis."

Manche Aufgaben können wir uns mit einem Baumdiagramm veranschaulichen (s.u.).
Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Weges werden multipliziert.
Kann man das gewünschte Ergebnis auf mehrere Arten erhalten, werden die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Wege addiert.

Beispiel:

Eine Urne enthält 3 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3mal je eine Kugel gezogen.

Ziehen mit Zurücklegen:

P(0 mal R) = P(BBB) = 6/9·6/9·6/9 = 8/27 = 0,296

P(1 mal R) = P(RBB) + P(BRB) + P(BBR) =
= 3/9·6/9·6/9 + 6/9·3/9·6/9 + 6/9·6/9·3/9 = 4/9 = 0,444

P(2mal R) = P(RRB) + P(RBR) + P(BRR) =
= 3/9·3/9·6/9 + 3/9·6/9·3/9 + 6/9·3/9·3/9 = 2/9 = 0,222

P(3mal R) = P(RRR) = 3/9·3/9·3/9 = 1/27 = 0,037

Ziehen ohne Zurücklegen:

P(0 mal R) = P(BBB) = 6/9·5/8·4/7 = 5/21 = 0,238

P(1mal R) = P(RBB) + P(BRB) + P(BBR) =
= 3/9·6/8·5/7 + 6/9·3/8·5/7 + 6/9·5/8·3/7 = 15/28 = 0,536

P(2mal R) = P(RRB) + P(RBR) + P(BRR) =
= 3/9·2/8·6/7 + 3/9·6/8·2/7 + 6/9·3/8·2/7 = 3/14 = 0,214

P(3mal R) = P(RRR) = 3/9·2/8·1/7 = 1/84 = 0,012

Lernziele:

  • Ich kann einfache Aufgaben mit Baumdiagrammen lösen.
  • Ich kann die Mindestanzahl von Versuchen für eine gegebenen Wahrscheinlichkeit berechnen.

Übungen

Weiter: Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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