Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Kann man das Ergebnis eines Zufallsexperiments durch eine Zahl darstellen, so bezeichnet man diese Zahl als Zufallsvariable X. Eine diskrete Zufallsvariable kann nur bestimmte Werte x1, x2, ..., xn annehmen.
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Wert xi die Wahrscheinlichkeit zu, mit der dieser Wert angenommen wird.

Erwartungswert E(X) bzw. μ (my), Varianz V(X) und Standardabweichung σ (sigma) werden analog zur Statistik definiert, wobei die relative Häufigkeit durch die Wahrscheinlichkeit ersetzt wird:

Beispiel:

Im vorigen Beispiel (Ziehen mit Zurücklegen; siehe auch Histogramm) sei X die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.

xi P(X=xi)
0 8/27
1 4/9
2 2/9
3 1/27

μ = 0·8/27 + 1·4/9 + 2·2/9 + 3·1/27 = 1

V(X) = 0·8/27 + 1·4/9 + 2·2/9 + 3·1/27 - 1 = 2/3

σ = √(2/3) = 0,82

Ebenso erhält man beim Ziehen ohne Zurücklegen:
μ = 1, V(X) = 1/2, σ = 0,71.

Die Binomialverteilung

Eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung. Sie tritt unter folgenden Bedingungen auf:

(Ein solches Experiment nennt man Bernoulli-Experiment.)

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Wiederholungen k-mal das Ereignis A eintritt,

(k = 0, 1, 2, ... n)

(n über k) ist der Binomialkoeffizient.

Für Erwartungswert und Standardabweichung ergeben sich die Formeln

Beispiel:

Wir würfeln 12mal mit einem normalen Würfel, X sei die Anzahl der geworfenen Sechser.
n = 12, p = 1/6, q = 5/6

P(X = 0) = (12 über 0)·(1/6)0·(5/6)12 = 0,112
P(X = 1) = (12 über 1)·(1/6)1·(5/6)11 = 0,269
P(X = 2) = (12 über 2)·(1/6)2·(5/6)10 = 0,296

Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Sechser:
P(X £ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,677

Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Sechser:
P(X ³ 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 0,619

μ = 12·1/6 = 2, σ = √(12·1/6·5/6) = 1,29

Die beiden Abbildungen zeigen die Binomialverteilung für p = 1/2 und n = 4 bzw. 16. Wie man sieht, nähert sich die Form bei wachsendem n immer mehr einer "Glockenkurve", der Normalverteilung (s. stetige Verteilungen).

Weitere diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Lernziele:

  • Ich kann die Formel für die Binomialverteilung anwenden.

Übungen

Weitere Übungsbeispiele: http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/binvert.htm

Weiter: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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