Zins-, Zinseszins- und Rentenrechnung

Wenn ein Kapital für einen gewissen Zeitraum ausgeliehen wird, muss man dafür Zinsen zahlen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Zinsen zu berechnen:

• Einfache (lineare) Verzinsung:
  Die Zinsen werden für die gesamte Laufzeit berechnet (proportional zur Laufzeit).
• Zinseszinsen (exponentielle Verzinsung):
  Nach jeder Zinsperiode (z.B. am Ende des Jahres) werden die aufgelaufenen Zinsen dem Kapital zugeschlagen und tragen von da an selbst wieder Zinsen.

• Dekursive Verzinsung:
  Die Zinsen werden vom Anfangskapital berechnet und dem Kapital am Ende der Laufzeit (bzw. Zinsperiode) zugeschlagen
• Antizipative Verzinsung:
  Die Zinsen (Diskont) werden vom Endkapital berechnet und am Beginn der Laufzeit gezahlt.

Bezeichnungen:

Wir geben Zinssatz und Diskontsatz in Prozent oder als Dezimalzahl an, z.B. i = 5% = 0,05.

Einfache Verzinsung

dekursiv:

Ein Kapital K₀ wird n Jahre zum Jahreszinssatz i angelegt. Die Zinsen betragen K₀·n·i, das Endkapital ist daher

Wir erhalten also eine lineare Funktion der Zeit.

Die einfache Verzinsung wird nur für Zeiträume unter 1 Jahr angewendet.

Beispiele:

1. 400 € werden 5 Monate zum Zinssatz i = 6% angelegt.
   K_n = 400·(1 + ⁵/₁₂·0,06) = 410 €
2. Welchen Betrag muss man auf ein Sparbuch mit 4% Verzinsung einzahlen, wenn man in 9 Monaten 800 € abheben will?
   800 = K₀·(1 + ⁹/₁₂·0,04) = K₀·1,03 ⇒     K₀ = 800/1,03 = 776,70 €

antizipativ:

Diese Art der Verzinsung wird vor allem bei der Wechseldiskontierung angewendet. Mit einem Wechsel verpflichtet man sich, zu einem späteren Zeitpunkt einen bestimmten Betrag K_n zu zahlen. Wenn der Empfänger des Wechsels ihn schon früher einlösen will, erhält er von der Bank den um die Diskontzinsen verminderten Betrag. Die Zinsen betragen K_n·n·d, der Auszahlungbetrag K₀ ist daher

Auch die lineare antizipative Verzinsung wird nur für Zeiträume unter 1 Jahr angewendet. Sie hat heute keine große praktische Bedeutung mehr.

Beispiele:

3. Ein Wechsel, der auf den Betrag K_n = 500 € lautet, wird 2 Monate vor seiner Fälligkeit eingelöst. Welche Summe wird ausgezahlt, wenn die Bank d = 6% Diskontzinsen berechnet?
   K₀ = 500·(1 - ²/₁₂·0,06) = 495 €
4. Eine Rechnung lautet auf den Betrag K₀ = 790 €. Ein Geschäftsmann will sie durch einen Wechsel begleichen, der in 3 Monaten fällig ist. Auf welchen Betrag muss er den Wechsel ausstellen, wenn 5% Diskontzinsen berechnet werden?
   790 = K_n·(1 - ³/₁₂·0,05) = K_n·0,9875 ⇒    K_n = 790/0,9875 = 800 €
5. Jemand leiht sich 1000 € ein Jahr lang zum Diskontsatz d = 10% aus. Welcher dekursive Zinssatz wäre dazu äquivalent?
   K_n = 1000/(1 - 0,1) = 1111,11
   Das entspricht einer dekursiven Verzinsung von i ≈ 11%.

Wie wir am letzten Beispiel sehen, sind ein bestimmter Zinssatz und ein nominell gleich hoher Diskontsatz nicht äquivalent.

Zinseszinsen

Die angelaufenen Zinsen werden am Ende jeder Zinsperiode dem Kapital hinzugefügt. (Wir betrachten hier nur dekursive Verzinsung.) Das Kapital wächst also pro Jahr umd den Aufzinsungsfaktor q = 1 + i, und der Endwert beträgt

Das Endkapital hängt also exponentiell von der Zeit ab.

Beispiele:

6. Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von 100 € in 8 Jahren bei einer Verzinsung von i = 5%?
   K_n = 100·1,05⁸ = 147,75 €
7. Wie hoch war ein Kapital, wenn es in 5 Jahren bei einer Verzinsung von i = 3% auf 742 € angewachsen ist?
   742 = K₀·1,03⁵ ⇒     K₀ = 742/1,03⁵ = 640 €
8. Jemand leiht sich 4000 € aus und zahlt nach 4 Jahren 4500 € zurück. Welchem Zinsatz entspricht das?
   4500 = 4000·q⁴ ⇒     q = ⁴√(4500/4000) ≈ 1,03, i ≈ 3%
9. Wie lange dauert es, bis ein Kapital von 1500 € bei einer Verzinsung von 4,5% auf 2000 € anwächst?
   2000 = 1500·1,045ⁿ ⇒     n = log(2000/1500)/log(1,045) ≈ 6,5 Jahre

Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik

Zahlungen dürfen nur dann verglichen / addiert / subtrahiert werden, wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden!

Beispiel:

10. Für eine Immobilie liegen zwei Angebote vor: A bietet 20000 € sofort und 10000 € in 3 Jahren; B bietet je 15000 € in einem Jahr und in 2 Jahren. Welches Angebot ist - bei einer Verzinsung von 5% - für den Verkäufer günstiger?
    Solche Aufgaben veranschaulicht man am besten durch einen Zeitstrahl:

    

    Wir können beispielsweise alle Zahlungen auf das Ende des 3. Jahres aufzinsen:
    A: 20000·1,05³ + 10000 = 33152,50
    B: 15000·1,05² + 15000·1,05 = 32287,50
    Angebot A ist also für den Verkäufer etwas günstiger.
    (Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn wir einen anderen Bezugszeitpunkt, z.B. den Anfang des 1. Jahres, gewählt hätten.)

Unterjährige Verzinsung

Oft werden die Zinsen mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen (halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich). Für die Berechnung des unterjährigen Zinssatzes i_m (m ist die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr) gibt es zwei Möglichkeiten:

• Relativer unterjähriger Zinssatz: i_m = i/m
  Der nominelle Jahreszinssatz wird durch die Anzahl der Zinsperioden geteilt.
  Dabei ergibt sich allerdings ein höherer Effektivzinsatz.

  Bsp.: K₀ = 100, i = 12%, n = 1

  halbjährlich:	i2 = 6%	K1 = 100·1,062 = 112,36	ieff = 12,36%
  vierteljährlich:	i4 = 3%	K1 = 100·1,034 = 112,55	ieff = 12,55%
  monatlich:	i12 = 1%	K1 = 100·1,0112 = 112,68	ieff = 12,68%

   

• Konformer (äquivalenter) unterjähriger Zinssatz:

  (1 + im)m = 1 + i

  i_m wird so bestimmt, dass sich derselbe Effektivzinssatz ergibt wie bei jährlicher Verzinsung.

  Betrachten wir wieder das Beispiel i = 12%:

  halbjährlich:	(1 + i2)2 = 1,12	i2 = 5,83%
  vierteljährlich:	(1 + i4)4 = 1,12	i4 = 2,87%
  monatlich:	(1 + i12)12 = 1,12	i12 = 0,95%

Man kommt also nur zu widerspruchsfreien Ergebnissen, wenn man den konformen unterjährigen Zinssatz verwendet!

Exkurs: Stetige Verzinsung

Wenn man (bei gleichbleibendem nominellen Zinssatz) die Anzahl der Zinsperioden vergrößert, wird das Endkapital immer größer. Es gibt aber eine obere Grenze.

Setzen wir der Einfachheit halber K₀ = 1, i = 100%:

m	K1
1	1 + 1 = 2
2	(1 + ½)2 = 2,25
4	(1 + ¼)4 = 2,441
12	(1 + 1/12)12 = 2,613
100	(1 + 1/100)100 = 2,705
1000	(1 + 1/1000)1000 = 2,717

Der Grenzwert dieser Folge für m → ∞ ist die Euler'sche Zahl e = 2,71828...

Allgemein: Endwert eines Kapitals bei stetiger Verzinsung zum nominellen Zinssatz i:

K_n = K₀·e^i·n

Die stetige Verzinsung eines Kapitals ist in der Praxis nicht durchführbar; sie stellt aber ein gutes Modell für natürliche Vorgänge (Wachstumsvorgänge, radioaktiver Zerfall u.a.) dar.

Rentenrechnung

Eine Reihe von gleichhohen Zahlungen (Raten) in regelmäßigen Zeitabständen bezeichnet man als Rente.

Bezeichnungen:
R: Rate
E: Endwert (Wert am Ende des Rentenzeitraums)
B: Barwert (Wert am Beginn des Rentenzeitraums)

Rentenperiode: Zeitraum zwischen zwei Raten
Nachschüssige Rente: Zahlungen am Ende jeder Rentenperiode
Vorschüssige Rente: Zahlungen am Beginn jeder Rentenperiode

Wir nehmen zunächst an, dass Rentenperiode und Zinsperiode übereinstimmen, und bestimmen den Endwert einer n-maligen, nachschüssigen Rente. (Die Rentenperiode sei ein Jahr.)

Wir zinsen alle Raten, beginnend mit der letzten, auf den Tag der letzten Zahlung auf:

E_n = R + R·q + R·q² + ... + R·q^n-1 = R·(1 + q + q² + ... + q^n-1)

Beweis:
Der Ausdruck in der Klammer ist eine geometrische Reihe. Wir bezeichnen die Summe mit s_n:

	sn = 1 + q + q2 + ... + qn-1
Beide Seiten mit q multiplizieren:	q·sn = q + q2 + ... + qn-1 + qn
Obere Gleichung von unterer abziehen:	sn·(q - 1) = qn - 1 sn = (qn - 1)/(q - 1)

Um den Endwert einer vorschüssigen Rente zu erhalten, muss man diesen Betrag noch durch ein Jahr aufzinsen, weil das Ende des Rentenzeitraums ein Jahr nach der letzten Zahlung liegt.

Den Barwert erhält man, indem man den Endwert durch n Jahre abzinst. Daher ergeben sich folgende Formeln:

Wenn Rentenperiode und Zinsperiode nicht gleich lang sind, muss man mit dem äquivalenten Zinssatz rechnen, z.B.:
monatliche Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%: q = ¹²√1,05 = 1,0041
zweijährige Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%: q = 1,05² = 1,1025

Beispiele:

11. Herr A. zahlt 15 Jahre lang am Ende jedes Jahres 1000 € ein (i = 4%). Von dem ersparten Geld will er 20 vorschüssige Jahresraten beheben, beginnend 5 Jahre nach der letzten Einzahlung. Wie hoch ist eine Rate?
    Wert 5 Jahre nach der letzten Einzahlung: Endwert (nachschüssig), aufgezinst durch 5 Jahre
    1000·(1,04¹⁵ - 1)/0,04·1,04⁵ = 24361,76
    Das ist der Barwert der neuen Rente (vorschüssig):
    24361,76 = R·1,04·(1 - 1,04^-20)/0,04 ⇒     R = 1723,64

12. Frau B. nimmt einen Kredit von 15000 € mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 8%). Wie hoch ist eine Rate? Nach 3 Jahren erhöht die Bank den Zinssatz auf 10%. Um wieviel verlängert sich die Laufzeit, wenn Frau B. die Raten in derselben Höhe weiterzahlt?
    Den Aufzinsungsfaktor erhalten wir aus dem konformen Monatszinssatz:
    q = 1 + i₁₂ = ¹²√1,08 = 1,0064
    Die Kreditsumme ist der Barwert, es sind 120 nachschüssige Raten zu zahlen:
    15000 = R·(1 - 1,0064^-120)/0,0064 ⇒     R = 179,79
    Restschuld nach 3 Jahren: Kreditsumme, aufgezinst durch 3 Jahre, minus Endwert der Raten nach 36 Monaten:
    15000·1,08³ - 179,79·(1,0064³⁶ - 1)/0,0064 = 11638,54
    Das ist der neue Barwert; der neue Aufzinsungsfaktor beträgt ¹²√1,1 = 1,008
    11638,54 = 179,79·(1 - 1,008^-n)/0,008
    1,008^-n = 0,4838
    n = -log(0,4838)/log(1,008) = 91,4
    Die Laufzeit verlängert sich um (91,4 - 84 =) 7,4 Monate.

(Bei solchen Aufgaben empfiehlt es sich, q im Speicher des Taschenrechners zu speichern.)

Übungen

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