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Schulbuchautor Dr.Gurtner

Seit 1985 arbeite ich als Schulbuchautor bei den Mathematikbüchern im Reniets Verlag GmbH (Novak und Schalk-Serie) mit. In letzter Zeit habe ich vor allem die TI-92-Kapiteln erstellt und arbeite derzeit an Maturaaufgaben für einen Nachfolgeband der Novak-Serie (AHS-Mathematik). Sie können ein paar Aufgaben schon jetzt ansehen und mir eine Rückmeldung dazu schicken.

Matura-Aufgaben

Die folgenden Aufgaben sollen Übungen für die schriftliche und mündliche Matura in Mathematik darstellen. Für die schriftliche Matura kommen etwa 3-5 Unteraufgaben je Nummer (ca.1 Stunde Arbeitszeit), für die mündliche Matura 1-2 Unteraufgaben je Nummer in Frage (ca. ¼ Stunde Vorbereitungszeit). Die Aufgaben wurden aus verschiedenen Maturasammlungen und aus gegebenen Maturaaufgabenstellungen entnommen und adaptiert. Der Schwierigkeitsgrad ist unterschiedlich, wie auch die Anforderungen je nach Schultyp unterschiedlich sind. Aufgaben, die nur für den Schultyp ORG und RG gelten werden mit (*) markiert.


Analytische Geometrie

G1) Gegeben ist das Dreieck DABC [A(-3 |15), B(-9|3), C(15|-9)].
Ermitteln Sie
a) die Koordinaten des Schwerpunktes S
b) die Koordinaten des Umkreismittelpunktes U
c) die Koordinaten des Höhenschnittpunktes H
d) eine Gleichung der Eulerschen Geraden (in Normalform)
e) den Flächeninhalt des Dreiecks.
f) Zeigen Sie, dass das Dreieck DABC rechtwinkelig ist. In welchem Punkt ist der rechte Winkel ?
Lösung: S(1|3), U(6|3), H(-9|3), e: y=-3, A=180, in B rechtwinkelig

G9) Gegeben sind ein Kreis k: x² + y² - 16x + 8y +40 = 0 und ein Punkt P(-2|6)
a) Ermitteln Sie Gleichungen der Tangenten, die man von P an den Kreis legen kann.
b) Welchen Winkel schließen diese Tangenten miteinander ein?
c) Wie groß ist die Fläche des Dreiecks, welches die Tangenten mit der Berührungssehne bilden?
d) Ermitteln Sie die Länge der kürzesten Sehne durch den Punkt Q(8|-10)
Lösung: t1: y=-1/3x+16/3, t2: y=-3x, j=53,13°, A=64, s=4

G14) Gegeben sind die Punkte A(1|2|0), B(1|4|0), C(5|2|2) und S(1|2|4) einer dreiseitigen Pyramide mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und dem Punkt S als Spitze.
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinkelig ist und bestimmen Sie die Größen der übrigen Winkel des Dreiecks.
b) Ermitteln Sie eine Normalvektorgleichung der Ebene e, in der die Punkte A,B und C liegen.
c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
(*) d) Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises k, der in der Ebene e liegt und durch die drei Punkte A,B und C verläuft.
(*) e) Diskutieren Sie die verschiedenen Möglichkeiten der Lagebeziehung zwischen einer Ebene und einer Geraden im R3 und beschreiben Sie jeweils die entsprechende Lösungsmenge bei der Schnittmengenbestimmung.
Lösung: a=90°, b=65,91°, g=24,09°, e: x-2z=1, V=16/3, U=(3|3|1)


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Differenzial- und Integralrechnung

D3) Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat in E(3|y) einen lokalen Extrempunkt und in W(2|2) einen Wendepunkt. Die Gleichung der Wendetangente lautet: 3x+y=8.
a) Berechne die Gleichung der Funktion f, diskutiere die Funktion und zeichne sie.
b) Berechne die Fläche, welche die Funktion und die x-Achse miteinander einschließen.
c) Das vom Graphen und von der x-Achse eingeschlossene Flächenstück rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
Lösung: f(x)= x³-6x²+9x, N1(0|0), N2(3|0), T(3|0), H(1|4), W(2|2), t: y=-3x+8, A=6,75, V=65,43

D15)Eine Blumenvase hat die Form eines einschaligen Drehhyperboloids. Sie ist 26,66cm hoch, der obere und untere Durchmesser betragen 10 cm. Der Durchmesser an der engsten Stelle beträgt 6 cm.
a) Bestimme die Gleichung der Hyperbel
b) Zeige, dass die Vase ca. 1,2 l Wasser enthält, wenn sie voll gefüllt ist.
c) Wie hoch steht das Wasser (vom Boden aus gemessen), wenn 0,75 l eingefüllt werden?
Lösung: 100x²-9y² = 900, 18,23 cm


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Extremwertaufgaben

E9) Ein Blumenbeet soll die Form eines Rechtecks mit 2 angesetzten gleichseitigen Dreiecken links und rechts erhalten. Für die Umzäumung stehen Ziegelsteine für eine 20m lange Mauer zur Verfügung.
a) Wie müssen die Maße gewählt werden um die Fläche zu maximieren? Zeichne eine Skizze des Ergebnisses im Maßstab 1:100.
b) Wenn das Blumenbeet die Form eines Quadrates bekäme - wie groß wäre die Fläche dann?
c) Wenn das Blumenbeet die Form eines Kreises bekäme - wie groß wäre die Fläche dann?
Lösung: l=1,18m b=4,41m A=22,05m² b) A=25m² (+13%) c) A=31,8m² (+44%)

E10) Eine Eisenstange soll durch einen senkrechten zylindrischen Schacht mit 0,8m Durchmesser in einen waagrecht verlaufenden zylindrischen Abwasserkanal von 2,4m Durchmesser geschoben werden.
a) Wie lang darf die Stange höchstens sein? Bei welchem Winkel (bezogen auf den senkrechten Schacht) berührt die Stange dann die Wände beider Schächte? Wie lang ragt dann die Stange in den senkrechten Schacht?
b) Wenn die Stange 5m lang ist und man sich verschieden breite Schächte aussuchen kann: Wie breit müsste der Schacht mindestens sein damit man die Stange in den Abwasserkanal bringen kann?
Lösung: a) l=4,324m a=55,26° x=1,404m b) a=1,20m


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Trigonometrie

T2)Eine Wiese hat die Form eines Trapezes ABCD mit den Angaben: AB=180m, CD=150m, DAB=85°, ABC=70°
a) Fertigen Sie eine Zeichnung im Maßstab 1:2000 an
b) Wie viel kostet die Wiese, wenn 1m² 20 € kostet?
c) Wie viel kostet der Zaun, wenn 1m 8 € kostet?
Lösung: 219289 €, 3740 €

T7) Um die Länge einer Hausmauer BC zu bestimmen muss man an der Verlängerung der linken Seite der Hausmauer über B hinaus einen Punkt A fixieren. Man misst vom Standort S in einiger Entfernung vom Haus die Winkel ASB=19,29°, BSC=61,21°. Weiters bestimmt man die Entfernungen AS=14,25m und CS=12,32m. Wie lang ist die Hausmauer ?
Lösung: 12m


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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

W2) Die Dauer von 25 Privatgesprächen wurde aufgezeichnet (Angabe in Sekunden):
52, 80, 340, 138, 409, 14, 353, 55, 6, 85, 4, 68, 69, 8, 28, 72, 82, 62, 2, 63, 85, 44, 17, 140, 23
a) Machen Sie eine Klasseneinteilung dieser Daten mit einer Klassenbreite von einer Minute. Zeichnen Sie ein Histogramm davon (x-Achse: Minutendauer(Klassenmitte!), y-Achse: relative Häufigkeit der Gespräche)
b) Ermitteln Sie Mittelwert mü und Standardabweichung sigma aus den Klassenmitten und den relativen Häufigkeiten des Histogramms.
c) Kann man bei Ansicht des Histogramms vermuten, dass es sich um eine Normalverteilung handelt? Wenn ja, arbeiten Sie mit der Dichte der Normalverteilung f(x)= 1/(wurzel(2Pi)*sigma) * e(x-mü)²/(2*sigma²) weiter. Wenn nein, verwenden Sie die Exponentialverteilung mit der Dichtefunktion f(x) = 1/mü * e-x/mü, wobei für mü der berechnete Mittelwert zu setzen ist.
Berechnen Sie mit der gewählten Verteilung die Werte für x=0,1,2,...,7 und zeichnen Sie diese Funktion in das Histogramm ein. An welchen Stellen ist die Approximation gut, wo weniger gut?
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit mit f(x), dass ein Gespräch weniger als 5 Minuten dauert und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Summenwert, der sich aus a) ergibt.
e) Ein Telefongespräch kostet 0,40 € pro Minute. Wie groß ist der Erwartungswert der Telefongebühr für die obigen 25 Gespräche?
Lösung: gut am Anfang, schlecht am Ende 95,1% und 88% 16,6 €

W3) In einem Glücksspielautomaten befinden sich 3 Räder. Am ersten Rad befinden sich einmal die Zahl 1 und dreimal die Zahl 2. Am zweiten Rad befinden sich zweimal die Zahl 1 und dreimal die Zahl 2. Am dritten Rad befinden sich zweimal die Zahl 1 und zweimal die Zahl 2. Beim Einwurf eines 1€ - Stücks drehen sich die Räder und kommen so zum Stillstand, dass auf jedem Rad eindeutig eine Zahl sichtbar ist.
Spielregel: 1) erscheint dreimal die Zahl 1 nebeneinander, so erfolgt eine Auszahlung von 2€
2) erscheint dreimal die Zahl 2, so erfolgt eine Auszahlung von 50 Cent.
3) In allen übrigen Fällen verfällt der Einsatz.
a) Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der angezeigten Einser an. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stellen Sie diese als Histogramm dar.
b) Jemand spielt 500mal. Ihn interessiert, wie oft er "111" als Resultat bekommt. Z sei die Anzahl der "111"er-Ergebnisse. Welche Verteilung mit welchen Parametern hat Z? In welchem Bereich liegt bei 500 Spielen mit 95%iger Sicherheit die Anzahl der Ereignisse "111" (g-Streubereich mit Stetigkeitskorrektur)
c) Die Zufallsvariable G bezeichne den Gewinn bei einem Spiel. Welche Werte kann G annehmen? Berechnen Sie den Erwartungswert von G und interpretieren Sie ihn! Wie groß müsste die Auszahlung beim Ereignis "111" sein, damit das Spiel fair ist?
Lösung: Binomialverteilung: p=0,05 [15;34] {1, -0,5, -1} E(G) = -0,79 16,75€

W6)In einer Firma sind flexible Arbeitsplätze eingerichtet. Da immer einige Mitarbeiter auf Außendienst oder krank sind, kann man weniger Arbeitsplätze als Mitarbeiter einrichten.
a) Nehmen Sie an, dass die Wahrscheinlichkeit eines Mitarbeiters in der Firma anwesend zu sein p=80% beträgt. Die Firma hat 380 Mitarbeiter. Wie viele Arbeitsplätze müssen mindestens vorhanden sein, damit an höchstens einem Tag im Jahr zu wenige da sind (runden Sie P auf 4 Stellen) (Approximation der Binomalverteilung durch die Normalverteilung)
b) Die Mitarbeiterzahl steigt auf 400. An durchschnittlich wie vielen Tagen im Jahr kommt es jetzt zu einem Engpass an Arbeitsplätzen im Jahr, wenn die Anzahl der Arbeitsplätze nicht erhöht wird?
c) Um genauere Prognosen machen zu können, werden der Außendiensteinsatz und die Krankenstände extra erhoben. Wie kann man aus der Wahrscheinlichkeit p1 des Außendiensteinsatzes und p2 des Krankenstandes auf die Anwesenheitswahrscheinlichkeit p schließen? Berechnen Sie p wenn p1= 12% und p2= 25% ist.
d) Unter welchen Voraussetzungen liefern diese Berechnungen ein realistisches Bild der Anwesenheitsdichte in der Firma?
Lösung: 326, 40, p=(1-p1)·(1-p2) = 66%, die Anwesenheit muss ganzjährig "zufällig" sein!


Rückmeldung an Dr.Gurtner





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