Funktionen

Grundbegriffe

Eine Funktion ist eine Vorschrift, durch die jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird.

Das Element der Definitionsmenge - das Argument bzw. die unabhängige Variable - bezeichnet man meist mit x, das zugeordnete Element der Wertemenge - den Funktionswert bzw. die abhängige Variable - mit y.
Die Zuordnungsvorschrift besteht oft aus einem Term.

Beispiel:
1 kg Äpfel kostet 2 €. Wieviel kosten x kg?

Bezeichnen wir die Menge mit x, den Preis mit y, so lautet die Zuordnungsvorschrift:

y = 2x

Zu jeder Menge gehört genau ein Preis. Es handelt sich daher um eine Funktion (wir nennen sie f).
Die Definitionsmenge und die Wertemenge sind R+0 (positive reelle Zahlen mit 0), da Menge bzw. Preis nicht negativ sein können.

Graph: y = 2x Wertetabelle:

xy
00
12
24
36
48

Fassen wir die Zahlenpaare (x/y) als Koordinaten auf, so bilden die entsprechenden Punkte den Graphen der Funktion. In diesem Beispiel ist der Graph eine Gerade.

Wir können eine Funktion also angeben durch

Schreibweisen:

Weitere Beispiele

Einige wichtige Begriffe:

Graph mit Nullstelle, Fixpunkt Nullstelle: Stelle, an der f(x) = 0
graphisch: Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse

Fixwert: Stelle, an der f(x) = x
graphisch: Schnittpunkt des Graphen mit der 1. Mediane (das ist die Gerade, die den Winkel zwischen der positiven x-Achse und der positiven y-Achse halbiert)


Graph: y = 2x, y = x/2 Umkehrfunktion:
Im obigen Beispiel entspricht auch jedem Preis genau eine Menge (z.B.: für 5 € erhält man 2,5 kg Äpfel). Die Menge ist also auch eine Funktion des Preises:

x = y/2

Wenn man - der Einheitlichkeit halber - die unabhängige Variable wieder mit x bezeichnet, lautet die Gleichung der Umkehrfunktion

f-1: y = x/2
Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man, indem man den Graphen von f an der 1. Mediane spiegelt.
Allgemein gilt:
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem y-Wert genau ein x-Wert entspricht; die Gleichung der Umkehrfunktion erhält man, indem man x und y vertauscht.

Implizite Funktion:
Durch die Gleichung

x + y = 5
wird eine Funktion festgelegt (zu jedem Wert für x gibt es genau einen Wert für y).

Das bezeichnet man als implizite Darstellung einer Funktion. Die explizite Darstellung erhält man, indem man die Gleichung nach y auflöst:

y = 5 - x

Lernziele:

  • Ich kann einfache Zusammenhänge als Funktionsgleichung darstellen.
  • Ich kann den Graphen einer gegebenen Funktion mit Hilfe einer Wertetabelle zeichnen.
  • Ich kann die Nullstellen einer gegebenen Funktion berechnen und aus dem Graphen ablesen.
  • (Eventuell: Ich kann die Fixwerte einer gegebenen Funktion berechnen und aus dem Graphen ablesen.)
  • (Ich kann die Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion ermitteln und ihren Graphen zeichnen.)

Übungen

Ausführliche Erklärung: mathe online, Funktionen http://www.mathe-online.at/mathint/fun1/i.html
Funktionsplotter (zum Zeichnen von Graphen): http://www.mathe-online.at/links/index1_5.html (beachte auch die anderen Links auf der Seite!)

Weiter: Lineare Funktionen

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