Quadratische Funktionen

Graph: y = x^2 Eine Funktion der Form

f: y = ax + bx + c (a, b, c Î R)

heißt quadratische Funktion.

Einfachster Fall:

f: y = x

Der Graph ist eine Parabel mit dem Scheitel im Koordinatenursprung (die sog. Normparabel).


Schieberegel:

Der Graph der Funktion f(x)+a / f(x)-a entsteht, indem der Graph der Funktion f(x) um a Einheiten nach oben / unten verschoben wird.

Der Graph der Funktion f(x+c) / f(x-c) entsteht, indem der Graph der Funktion f(x) um c Einheiten nach links / rechts (!) verschoben wird.

Graph: y = x^2, y = x^2+2, y = x^2-3 Graph: y = x^2, y = (x-1)^2, y = (x+3)^2

Beispiel:
f1: x → x
f2: x → x + 2
f3: x → x - 3

Beispiel:
f1: x → x
f2: x → (x-1)
f3: x → (x+3)

Graph: y = x^2-10x+24 Durch geeignete Umformungen kann man jede quadratische Funktion auf eine solche Form bringen, z.B.:

y = x - 10x + 24 = (Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat)
= x - 10x + 25 - 25 + 24 =
= (x - 5) - 1

Die Normparabel wurde also um 5 Einheiten nach rechts und um 1 Einheit nach unten verschoben. Der Graph ist daher eine Parabel mit dem Scheitel S(5/-1).


Multipliziert man die Funktion mit einer Konstanten, so wird der Graph in y-Richtung gestreckt bzw. gestaucht; bei Multiplikation mit -1 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt. Wir stellen daher zusammenfassend fest:

Der Graph der quadratischen Funktion
f: y = ax + bx + c
ist eine Parabel, und zwar
für a > 0 nach oben offen,
für a < 0 nach unten offen.

Lernziele:

  • Ich kann aus der Gleichung einer quadratischen Funktion das ungefähre Aussehen des Graphen ablesen.
  • (Eventuell: Ich kann aus der Gleichung einer Parabel die Koordinaten des Scheitels berechnen.)

Übungen

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