Integralrechnung

Stammfunktionen (unbestimmtes Integral)

Definition: Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F'(x) = f(x).

Beispiel: Welche Funktion hat die Ableitung f(x) = x?
Eine mögliche Antwort ist F(x) = x²/2.
Eine beliebige Stammfunktion ist von der Form F(x) = x²/2 + C (C ist eine beliebige Konstante), weil konstante Summanden beim Differenzieren wegfallen.
Wenn von der Funktion sonst nichts bekannt ist, müssen wir also immer die Integrationskonstante C dazuschreiben.

Die Stammfunktion bezeichnet man auch als unbestimmtes Integral:

F(x) = ∫f(x)dx

Stammfunktionen der wichtigsten Funktionen:

f(x) = k

F(x) = kx + C

f(x) = xn (n ≠ -1)

F(x) = ln |x| + C

f(x) = sin x

F(x) = -cos x + C

f(x) = cos x

F(x) = sinx + C

f(x) = ex

F(x) = ex + C

Integrationsregeln:

∫k·f(x)dx = k·∫f(x) dx

∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Beispiel:
Eine Funktion hat die Ableitung f'(x) = 2x; der Graph geht durch den Punkt P(2/7).
∫2xdx = x² + C
Koordinaten von P einsetzen:
2² + C = 7 Þ C = 3
f(x) = x² + 3

Lernziele:

  • Ich kann die Stammfunktion einer Polynomfunktion finden.

  • Ich kann die Gleichung einer Polynomfunktion finden, von der die Ableitung und ein Punkt gegeben ist.

Übungen

Weitere Übungsbeispiele: http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/stammfkt.htm

Weiter: Das bestimmte Integral

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