Die Funktion f(x) sei gegeben; wir wollen die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall [a, b] berechnen.
Einen Näherungswert erhält man, wenn man [a, b] in Teilintervalle der Länge Dx teilt, in jedem Intervall eine Stelle xi wählt und die Flächeninhalte der Rechtecke Dx·f(xi) addiert:
A » (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn))·Dx,
in Summenschreibweise:
Die Fläche - das bestimmte Integral - definieren wir als Grenzwert dieser Summe, wenn Dx gegen 0 geht; man schreibt:
sprich "Integral von a bis b von f(x)dx" (das Integralzeichen soll an S für "Summe" erinnern).
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
|
|
das heißt, die Fläche unter dem Graphen von f(x) ist eine Stammfunktion von f.
Beispiel:
Wir suchen die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² zwischen den Grenzen a = 1 und b = 2.
|
|
Stammfunktion finden |
|
|
Grenzen einsetzen, |
|
|
|
Achtung: Für f(x) < 0 ist auch das Integral negativ. Der Inhalt der Fläche zwischen Kurve und x-Achse ist dann der Betrag des Integrals.
Wenn die Funktion im angegebenen Intervall ein oder mehrere Nullstellen hat, müssen wir daher die einzelnen Flächenstücke getrennt berechnen und ihre Beträge addieren.
Wenn die Fläche zwischen einer Kurve und der x-Achse berechnet werden soll (ohne dass ein Intervall angegeben ist), müssen wir zuerst die Nullstellen bestimmen - das sind dann die Integrationsgrenzen.
Die Fläche, die von zwei Kurven - den Graphen der Funktionen f(x) und g(x) - eingeschlossenen wird, berechnen wir nach der Formel
Die Integrationsgrenzen sind dabei die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Wenn es mehr als zwei Schnittpunkte gibt, muss man wieder die einzelnen Flächenstücke getrennt berechnen.
Beispiele:
Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = x² - 1 und der x-Achse zwischen den Grenzen a = 0 und b = 2 eingeschlossen wird?
Die Funktion hat bei x1 = 1 eine Nullstelle, wir müssen daher von 0 bis 1 und von 1 bis 2 getrennt integrieren:
Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = -x³ + 3x² und der x-Achse begrenzt wird?
Nullstellen bestimmen: -x³ + 3x² = 0 Þ x1 = 0, x2 = 3
Wie groß ist die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) = x² und g(x) = x³?
Schnittpunkte bestimmen: x² = x³ Þ x1 = 0, x2 = 1
Weitere
Übungsbeispiele:
http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/bestint.htm
http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/inhint.htm
Mit Hilfe der Integralrechnung kann man auch Volumina berechnen. Wir betrachten hier nur Drehkörper.
Wenn eine Kurve um die x- oder y-Achse rotiert, kann man den entstehenden Drehkörper in schmale Schichten der Dicke Dx bzw. Dy teilen und diese näherungsweise durch Zylinder ersetzen. Ähnlich wie vorhin erhält man für das Volumen die Formeln
|
|
bei Rotation um die x-Achse |
|
|
bei Rotation um die y-Achse |
Beispiel:
Der Graph der Funktion y = x²/4 im Intervall [0, 2] rotiert um die Koordinatenachsen. Wie groß sind die Volumina der dabei entstehenden Drehkörper?
Rotation um x-Achse: y² = x4/16, x1 = 0, x2 = 2
Rotation um y-Achse: x² = 4y, y1 = 0, y2 = 1
|
Lernziele:
|
