Komplexe Zahlen

Definition

Bekanntlich haben quadratische Gleichungen nicht immer eine reelle Lösung. Wenn man will, dass quadratische Gleichungen (und solche höheren Grades) ohne Einschränkungen lösbar sein sollen, muss man eine neue Art von Zahlen einführen.

Wir definieren die imaginäre Einheit i durch die Gleichung

i = -1

(Das ist keine reelle Zahl, weil das Quadrat einer rellen Zahl immer positiv oder 0 ist.)
Vielfache von i heißen imaginäre Zahlen (z.B. 2i, -0,5i, √3·i).
Eine Zahl der Form z = a + bi (a, b in R) heißt komplexe Zahl (z.B. 4 + 3i, 1,8 - 0,5i). Dabei ist a der Realteil und b der Imaginärteil von z. Man schreibt auch kürzer z = (a, b).
Die Menge aller komplexen Zahlen bezeichnet man mit C. Die Menge R ist eine Teilmenge von C; sie besteht aus allen Zahlen, deren Imaginärteil 0 ist.

Beispiel: Die Gleichung x - 2x + 10 = 0 hat die Lösungen
x1,2 = 1 ± √-9 = 1 ± 3·√-1, also
x1 = 1 + 3i, x2 = 1 - 3i

Zwei solche Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden, heißen konjugiert komplex, mit anderen Worten: die zu z = a + bi konjugiert komplexe Zahl ist = a - bi (sprich "z quer").

Rechnen mit komplexen Zahlen

Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation gelten dieselben Rechenregeln wie beim Rechnen mit Termen. Wenn in der Rechnung i auftritt, wird es durch -1 ersetzt.

Beispiel:
(2 + i) + (1 + 3i) = 2 + i + 1 + 3i = 3 + 4i
(2 + i) − (1 + 3i) = 2 + i − 1 − 3i = 1 − 2i
(2 + i)·(1 + 3i) = 2 + i + 6i + 3i = -1 + 7i

Wenn man durch eine komplexe Zahl dividiert, erweitert man mit der konjugiert komplexen Zahl. Es ist nämlich (a + bi)·(a - bi) = a + b, also eine reelle Zahl.

Beispiel:

Die Gaußsche Zahlenebene

Man kann komplexe Zahlen auch in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem darstellen. Die erste Achse ist die reelle, die zweite die imaginäre Achse. Die Zahl z = a + bi entspricht dem Punkt (a/b) bzw. dem dazugehörigen Ortsvektor.

Konjugiert komplexe Zahlen liegen symmetrisch zur reellen Achse.

Addition und Subtraktion entsprechen der üblichen Vektoraddition und -subtraktion.

Eine Multiplikation mit einer reellen Zahl ist eine Streckung, Multiplikation mit i ergibt eine Drehung um 90.

Die Dreiecke O1Z1 und OZ2(Z1·Z2) sind zueinander ähnlich.

Ausführliche Erklärungen:
Lernpfad "Komplexe Zahlen" von Andreas Pester: http://www.mathe-online.at/lernpfade/complex/
Dave's Short Course on Complex Numbers (englisch): http://www.clarku.edu/~djoyce/complex/

Übungen

Weiter: Die Polardarstellung komplexer Zahlen

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