Trigonometrie

"Trigonometrie" heißt wörtlich "Dreiecksvermessung"; es geht um die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln in einem Dreieck.

Wiederholung einiger wichtiger Begriffe:

Gerade schneidet zwei Parallelen α, β (bzw. α, δ)... Nebenwinkel (ergänzen einander auf 180°)
α, γ ... Scheitelwinkel (gleichgroß)
α, ε ... Parallelwinkel (gleichgroß)
Winkel im Dreieck In jedem Dreieck beträgt die Winkelsumme α + β + γ = 180°
rechtwinkeliges Dreieck Im rechtwinkeligen Dreieck heißt die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse, die anderen Seiten Katheten.
Satz von Pythagoras:
Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten.

Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck

Die Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt, bezeichnet man als Gegenkathete von α; die Kathete, die α anliegt, ist die Ankathete (s. Bild oben):

Wir stellen fest: In einem rechtwinkeligen Dreieck hängt das Verhältnis zweier Seiten nur von α ab, nicht von der Größe des Dreiecks. Man definiert daher die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens:

sin(alpha) = GK/H; cos(alpha) = AK/H; tan(alpha) = GK/AK

Die Werte dieser Funktionen kann man in Tabellen nachschlagen oder mit dem Taschenrechner berechnen.

Ist z.B. der Wert des Sinus bekannt, und der dazugehörige Winkel wird gesucht, braucht man die entsprechenden Umkehrfunktionen: Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens (auf dem Taschenrechner: sin-1, cos-1 und tan-1).

Damit können wir aus zwei Bestimmungsstücken (Seiten bzw. Winkeln) eines rechtwinkeligen Dreiecks die anderen Größen berechnen.

Beispiele:

  1. Ein Papierdrache fliegt an einer 80 m langen Schnur, die mit dem Boden den Winkel α = 67° einschließt. Wie hoch fliegt der Drache?

    Anhand einer Skizze stellen wir fest: h = Höhe = Gegenkathete von α; l = Schnurlänge = Hypotenuse. Wir verwenden daher den Sinus:

    sin α = h/l
    h = l·sin α = 73, 6 m

  2. Eine Leiter lehnt an einer Wand. Sie schließt mit dem Boden den Winkel α = 60° ein; der Fußpunkt der Leiter ist 1,2 m von der Wand entfernt. Wie lang ist die Leiter?

    b = Abstand = Ankathete von α; l = Länge der Leiter = Hypotenuse. Wir verwenden den Cosinus:

    cos α = b/l
    l = b/cos α = 2,4 m

  3. Wie hoch steht die Sonne, wenn ein 5 m langer Fahnenmast einen 7,5 m langen Schatten wirft?

    α = Winkel zwischen Sonnenstrahlen und Boden; h = Höhe = Gegenkathete von α; s = Schattenlänge = Ankathete von α. Wir verwenden den Tangens:

    tan α = h/s = 0,67
    α = tan-1 0,67 = 33,7°

Andere Figuren (Rechteck, gleichschenkeliges Dreieck, Raute ...) zerlegt man, wenn möglich, in rechtwinkelige Dreiecke.

Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen:

sinē α + cosē α = 1
tan(alpha) = sin(alpha)/cos(alpha)

Ausführliche Erklärung:
mathe online, Winkelfunktionen: http://www.mathe-online.at/mathint/wfun/i.html

Lernziele:

  • Ich kenne die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck.
  • Ich kann rechtwinkelige Dreiecke mit Hilfe von Winkelfunktionen auflösen.
  • (Ich kenne die wichtigsten Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen.)

Übungen, Anwendungsaufgaben

Weiter: Winkelfunktionen im Einheitskreis

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