Ungleichungen mit einer Unbekannten

Eine Ungleichung ist ein Ausdruck der Form

T₁(x) < T₂(x)
T₁(x) > T₂(x)
T₁(x) ≤ T₂(x)
T₁(x) ≥ T₂(x)

Grundmenge, Definitionsmenge und Lösungsmenge sind so wie bei Gleichungen definiert.

Äquivalenzumformungen Die Lösungsmenge einer Ungleichung bleibt gleich, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl (denselben Term) addiert bzw. subtrahiert, mit derselben positiven Zahl multipliziert, durch dieselbe positive Zahl dividiert. Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert bzw. dividiert, muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen!

(Achtung: Wenn man eine Ungleichung mit einem Term multipliziert, der positiv oder negativ sein kann, muss man die verschiedenen Fälle getrennt berechnen.)

Als Grundmenge nehmen wir ab jetzt immer R. Die Lösungsmenge besteht im Allgemeinen aus einem oder mehreren Intervall(en).

Lineare Ungleichungen

Lineare Ungleichungen werden, bis auf die oben erwähnte Ausnahme, genauso wie lineare Gleichungen gelöst.

Beispiel:

7x - 2	< 9x + 3	| - 9x + 2
-2x	< 5	| :(-2)
x	> -5/2
L = ]-5/2, ∞[

Quadratische Ungleichungen

Eine quadratische Ungleichung bringen wir zuerst auf Normalform und lösen die dazugehörige quadratische Gleichung. Mit dem Satz von Vieta können wir dann die linke Seite der Ungleichung in Linearfaktoren zerlegen. Nun müssen wir nur noch überlegen, wo die einzelnen Faktoren ihr Vorzeichen ändern.

Beispiel:

x² - 3x - 4 ≥ 0

Die Gleichung x² - 3x - 4 = 0 hat die Lösungen x₁ = -1, x₂ = 4. Wir können daher die Ungleichung so schreiben:

(x + 1)(x - 4) ≥ 0

Wir müssen also folgende Fälle unterscheiden, die wir am besten in einer Tabelle zusammenstellen:

	x < -1	x = -1	-1 < x < 4	x = 4	x > 4
x + 1	-	0	+	+	+
x - 4	-	-	-	0	+
(x + 1)(x - 4)	+	0	-	0	+

Die Lösungsmenge ist L = ]-∞, -1] ∪ [4, ∞[.

Wenn die quadratische Gleichung keine Lösung hat, ist der Term entweder immer positiv oder immer negativ. Das kann man leicht durch Einsetzen einer beliebigen Zahl (z.B. 0) feststellen.

Übungen

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