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Die Fibonacci-Folge

Der italienische Mathematiker Fibonacci (eigentlich Leonardo von Pisa, 1170 - 1250) stellt in seinem Buch "Liber Abaci" folgende Aufgabe:

Ein Mann hält ein Kaninchenpaar an einem Ort, der gänzlich von einer Mauer umgeben ist. Wir wollen nun wissen, wie viele Paare von ihnen in einem Jahr gezüchtet werden können, wenn die Natur es so eingerichtet hat, dass diese Kaninchen jeden Monat ein weiteres Paar zur Welt bringen und damit im zweiten Monat nach ihrer Geburt beginnen.

Wenn man versucht, die Frage zu beantworten, kommt man auf folgende Zahlenfolge:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Jede Zahl dieser Folge entsteht, indem man die beiden vorhergehenden Zahlen addiert. Im 12. Monat kommen also 144 Paare zur Welt, und insgesamt hat der Mann dann 377 Kaninchenpaare.

Bezeichnet man die n-te Zahl der Folge mit a_n, so kann man definieren:

a_n+1 = a_n + a_n-1

(Eine solche Vorschrift nennt man "rekursiv". Sie gibt an, wie man jede Zahl der Folge aus den vorhergehenden Zahlen berechnet.)

So unregelmäßig die Fibonacci-Folge auf den ersten Blick aussieht – es gibt in ihr eine Fülle interessanter Eigenschaften zu entdecken, zum Beispiel:

Das Quadrat jeder Zahl (ab der zweiten) ist um 1 kleiner oder größer als das Produkt der vorhergehenden und der nachfolgenden Zahl:

1² = 1× 2-1, 2² = 1× 3+1, 3² = 2× 5-1, 5² = 3× 8+1 ...

Die Summe der ersten n Zahlen ist um 1 kleiner als die (n+2)-te Zahl:

1 = 2-1, 1+1 = 3-1, 1+1+2 = 5-1, 1+1+2+3 = 8-1 ...

Die Summe der Quadrate der ersten n Zahlen ist gleich dem Produkt aus der n-ten und der (n+1)-ten Zahl:

1² = 1× 1, 1²+1² = 1× 2, 1²+1²+2² = 2× 3, 1²+1²+2²+3² = 3× 5 ...

Und eine der wichtigsten Eigenschaften: Berechnet man jeweils den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Zahlen:

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5 ...

so erhält man immer bessere Näherungswerte für die Zahl j , den "Goldenen Schnitt".

Die rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen ist ziemlich umständlich – will man z.B. die 100. Zahl berechnen, so muss man zuerst die ersten 99 Zahlen ermitteln. Mithilfe der "Formel von Binet" kann man a_n direkt aus n berechnen :

Überraschenderweise tauchen die Fibonacci-Zahlen auch in der Natur auf: Die Blätter oder Früchte von Pflanzen bilden oft Spiralmuster. Die Anzahl der Spiralen sind meist Fibonacci-Zahlen – ein Föhrenzapfen hat z.B. in der einen Richtung 8, in der anderen 13 Spiralen; bei der abgebildeten Sonnenblume beträgt die Anzahl 21 bzw. 34.

Viele interessante Einzelheiten zu diesem Thema findet ihr auf Fibonacci Numbers, the Golden section and the Golden String .

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