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Eine etwas ungewohnte Art, Brüche zu schreiben, ist die Kettenbruchdarstellung, d.h. die Darstellung als "Kette" von Brüchen mit dem Zähler 1. So kann man z.B. schreiben
abgekürzt [1; 2, 3, 4].
Bei einer rationalen Zahl bricht die Kettenbruchentwicklung irgendwann ab. Bei Wurzelausdrücken dagegen wird sie periodisch. So ist z.B.
oder j , der Wert des Goldenen Schnitts
Die Kettenbruchdarstellung von transzendenten Zahlen (Zahlen, die nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung auftreten können) ist dagegen völlig unregelmäßig, z.B.
p = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]
Für e, die Euler'sche Zahl, erhält man zwar keinen periodischen, aber doch einen "schönen" Kettenbruch:
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ...]
Bricht man einen Kettenbruch nach der n-ten Stelle ab, so erhält man den n-ten Näherungsbruch.
Diesen kann man auch nach der folgenden Methode berechnen:
Sei [a1, a2, a3 ...] ein Kettenbruch
und pn/qn der n-te Näherungsbruch. Dann setzt man
p0 = 1, q0 = 0, p1 = a1, q1 = 1
pn = anpn-1 + pn-2, qn = anqn-1 + qn-2
Für das erste Beispiel erhält man dann folgende Tabelle:
an
1
2
3
4
pn
1
1
3
10
43
qn
0
1
2
7
30
Die Folge der Näherungsbrüche lautet also 1, 3/2, 10/7, 43/30 (der letzte Bruch ist der genaue Wert).
Für Ö2 erhalten wir:
an
1
2
2
2
...
pn
1
1
3
7
17
...
qn
0
1
2
5
12
...
Die Folge der Näherungsbrüche, die diesmal nicht abbricht, lautet also 1, 3/2, 7/5, 17/12 ... Das sind immer bessere Näherungswerte für Ö2, die abwechselnd etwas größer und etwas kleiner als der genaue Wert sind.
Interessantes Detail am Rande: Wenn man die Näherungsbrüche für p berechnet, erhält man einige historische Näherungswerte : 22/7 (Archimedes), 333/106 (Adriaen Metius) und 355/113 (Tsu Ch'ung Chi).
Mithilfe von Kettenbrüchen kann man auch die Pell'sche Gleichung lösen. Das ist eine Gleichung der Form
x2 - d·y2 = 1,wobei d eine natürliche Zahl ist. Dazu entwickelt man Öd in einen Kettenbruch und sucht an, die vorletzte Zahl einer Periode. (Wenn die Länge der Periode ungerade ist, braucht man die vorletzte Zahl der zweiten Periode.) Dann berechnet man, wie oben gezeigt, den entsprechenden Näherungsbruch pn/qn. Das Paar
Als Beispiel betrachten wir die Gleichung
x2 - 7y2 = 1
Die Kettenbruchentwicklung von Ö7 ist [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4 ...]. Die vorletzte Zahl der ersten Periode ist a4 = 1, und der 4. Näherungsbruch ist 8/3. x = 8 und y = 3 ist also eine Lösung der Gleichung, denn 82 - 7·32 = 1. Eine weitere Lösung erhält man aus a8, der vorletzten Zahl der zweiten Periode; der 8. Näherungsbruch ist 127/48, und 1272 - 7·482 = 1. Auf diese Art kann man beliebig viele Lösungen der Pell'schen Gleichung finden.
