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Berechnung von Quadratwurzeln

Die Schulmethode

Die folgende Methode, die bis vor nicht allzu langer Zeit in der Schule gelehrt wurde, beruht auf einer Umformung der binomischen Formel:
(a + b)² = a² + 2ab + b² = a² + (2a + b)·b

Wir teilen die Ziffern der Zahl, aus der wir die Wurzeln ziehen wollen, vom Komma ausgehend in Zweiergruppen (Anzahl der Zweiergruppen = Anzahl der Ziffern des Ergebnisses):
```
Ö5|29 = ..
```
Die erste Ziffer des Ergebnisses (a) ist die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich als die erste Zweiergruppe ist. Wir schreiben sie an, ziehen das Quadrat ab und schreiben die nächste Zweiergruppe herunter:
```
Ö5|29 = 2.
-4
 1 29
```
Den Rest dividieren wir durch das Doppelte des bisherigen Ergebnisses (2a) plus einer noch zu bestimmenden Endziffer (b); für die * muss überall die gleiche Ziffer eingesetzt werden:
```
Ö5|29 = 2*
-4
 1 29 : 4* = *
```
Abschätzung: 12 : 4 = 3 (manchmal muss man auch eine kleinere Zahl einsetzen); 3 · 43 = 129:
```
Ö5|29 = 23
-4
 1 29 : 43 = 3
-1 29
    0 R.
```

In der Praxis schreibt man die Subtraktionen nicht an:

Ö5|29 = 23
 1 29 : 43 = 3
    0 R.

Bei größeren Zahlen wiederholt man die letzten beiden Schritte:

Ö13|32|25 = 365
  4 32    : 66 = 6
    36 25 : 725 = 5
        0 R.

Die Methode funktioniert auch bei Zahlen, die keine rationale Wurzel haben - allerdings werden die Reste dabei immer länger:

Ö2 = 1,4142...
 100 : 24 = 4
   400 : 281 = 1
   11900 : 2824 = 4
     60400 : 28282 = 2  
       ...

Das Heron'sche Verfahren

Die alten Griechen rechneten noch nicht mit Dezimalzahlen, aber sie kannten schon sehr genaue Verfahren, um eine Wurzel näherungsweise durch einen Bruch darzustellen.

Angenommen, wir wollen die Wurzel aus 2 berechnen und beginnen mit dem Näherungswert 3/2. Dividieren wir 2 durch 3/2, erhalten wir 4/3. 3/2 ist also etwas größer, 4/3 etwas kleiner als Ö2.
Das arithmetische Mittel der beiden Zahlen, (3/2 + 4/3)/2 = 17/12, wird daher ein besserer Näherungswert sein.
Wiederholen wir die Rechnung mit dem Anfangswert 17/12, erhalten wir als nächsten Näherungsbruch 577/408 - ein Wert, der schon auf 5 Stellen nach dem Komma mit dem genauen Ergebnis übereinstimmt!

Allgemein ausgedrückt: Ist x_n ein Näherungswert für Öa, so erhält man einen besseren Näherungswert nach der Formel

x_n+1 = (x_n + a/x_n)/2

(Anmerkung für Spezialisten: Diese Methode ist ein Spezialfall des Newton'schen Näherungsverfahrens für die Funktion f(x) = x² - a.)

Man kann das Heron'sche Verfahren auch als die Berechnung von Mittelwerten interpretieren:
Ö2 ist das geometrische Mittel g von 1 und 2, denn
1:g = g:2 Þ g = Ö2
Unser erster Näherungswert 3/2 ist das arithmetische Mittel m, 2/m das harmonische Mittel h. Da auch gilt
h:g = g:m,
kann man die Berechnung mit den neuen Anfangswerten wiederholen. Das macht man so oft, bis man die gewünschte Genauigkeit erreicht hat.

Kettenbrüche

Eine weitere Möglichkeit ist, die Wurzel als Kettenbruch darzustellen und die Folge der Näherungsbrüche bis zur gewünschten Genauigkeit zu berechnen. (Das geht aber viel langsamer als mit dem Heron'schen Verfahren.)

Der 1., 2., 4., 8., ... Näherungsbruch tritt übrigens auch beim Heron'schen Verfahren auf. (Ich habe aber keine Ahnung, wieso.)